Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou uma familiar).
tg x=sen xcos x

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar a identidade trigonométrica tan x = sin xcos x e obter uma nova identidade. O conteúdo é cálculo de derivadas de funções trigonométricas e aplicaremos a regra do quociente.

Passo 2

Calculamos a derivada do lado esquerdo, usando que
ddxl[tan xr] = sec^2 x

Passo 3

Para o lado direito, usemos a regra do quociente em sin xcos x: denotando u=sin x e v=cos x, temos
ddxl(uvr) = u'v - uv'v^2 = cos xcdotcos x ;-;sin xcdot(-sin x)cos^2 x

Passo 4

No numerador, cos xcos x + sin xsin x = cos^2 x + sin^2 x, que vale 1 pela identidade pitagórica. Logo
ddxl(sin xcos xr) = 1cos^2 x = sec^2 x

Passo 5

Como derivamos ambos os lados da igualdade original, concluímos
sec^2 x = 1cos^2 x
Podemos reescrever 1cos^2 x usando tan^2 x = sin^2 xcos^2 x, obtendo
sec^2 x = 1 + tan^2 x

Resposta

sec^2 x = 1 + tan^2 x.

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