Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=e^2 t t^2+e^-2 t-cos 5 t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = e^2 t t^2 + e^-2 t - cos 5 t . A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais, transformando funções do tempo t para o domínio da frequência s .

Passo 2

Vamos começar separando a função em três partes para facilitar a transformação:
  1. e^2 t t^2
  2. e^-2 t
  3. -cos 5 t
Vamos calcular a transformada de Laplace de cada parte individualmente e depois somar os resultados.

Passo 3

Primeira parte: e^2 t t^2
A transformada de Laplace para e^a t t^n é dada por:
Le^a t t^n = n!(s - a)^n+1
Aqui, a = 2 e n = 2 . Então:
Le^2 t t^2 = 2!(s - 2)^3 = 2(s - 2)^3

Passo 4

Segunda parte: e^-2 t
A transformada de Laplace para e^a t é:
Le^a t = 1s - a
Aqui, a = -2 . Então:
Le^-2 t = 1s - (-2) = 1s + 2

Passo 5

Terceira parte: -cos 5 t
A transformada de Laplace para cos(b t) é:
Lcos(b t) = ss^2 + b^2
Então, para cos 5 t :
Lcos 5 t = ss^2 + 25
Como temos um sinal negativo na frente:
L-cos 5 t = -ss^2 + 25

Passo 6

Agora, vamos somar todas as transformadas encontradas:
Lf(t) = 2(s - 2)^3 + 1s + 2 - ss^2 + 25

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = e^2 t t^2 + e^-2 t - cos 5 t é:
Lf(t) = 2(s - 2)^3 + 1s + 2 - ss^2 + 25

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