Encontre a transformada de Laplace das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática muito útil na engenharia e nas ciências para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções simples como constantes e funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo
para uma função no domínio da frequência
. A fórmula da transformada de Laplace é:
Onde:
-
é a transformada de Laplace de . -
é uma variável complexa. - A integral vai de 0 a infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Podemos separar a transformada em duas partes, já que a transformada é linear:
Isso facilita os cálculos, pois podemos encontrar a transformada de cada termo individualmente.
Passo 4
Vamos calcular a transformada de
primeiro. Sabemos que a transformada de uma constante
é:
Então, para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de
. A transformada de
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Multiplicando por 3:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: