Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=2+3 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função f(t) = 2 + 3t . A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática muito útil na engenharia e nas ciências para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções simples como constantes e funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo f(t) para uma função no domínio da frequência F(s) . A fórmula da transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Onde:
  • Lf(t) é a transformada de Laplace de f(t) .
  • s é uma variável complexa.
  • A integral vai de 0 a infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(t) = 2 + 3t . Podemos separar a transformada em duas partes, já que a transformada é linear:
L2 + 3t = L2 + L3t
Isso facilita os cálculos, pois podemos encontrar a transformada de cada termo individualmente.

Passo 4

Vamos calcular a transformada de 2 primeiro. Sabemos que a transformada de uma constante a é:
La = as
Então, para a = 2 :
L2 = 2s

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de 3t . A transformada de t^n é dada por:
Lt^n = n!s^n+1
No nosso caso, n = 1 , então:
Lt = 1!s^2 = 1s^2
Multiplicando por 3:
L3t = 3 times 1s^2 = 3s^2

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
L2 + 3t = 2s + 3s^2

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = 2 + 3t é:
L2 + 3t = 2s + 3s^2

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