Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=4 e^5 t+sen 2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = 4 e^5 t + sin 2 t . Vamos precisar usar os conceitos de linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas básicas para as funções exponenciais e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar: 4 e^5 t e sin 2 t . A transformada de Laplace é linear, ou seja, a transformada da soma é a soma das transformadas. Então, podemos escrever:
Lf(t) = L4 e^5 t + Lsin 2 t

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de 4 e^5 t . Sabemos que:
Le^a t = 1s - a, para s > a
No nosso caso, a = 5 . Além disso, temos o coeficiente 4, que fica multiplicando a transformada:
L4 e^5 t = 4 cdot 1s - 5 = 4s - 5

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a transformada de sin 2 t . A fórmula para a transformada de Laplace do seno é:
Lsin(bt) = bs^2 + b^2
Aqui, b = 2 , então aplicando a fórmula:
Lsin 2 t = 2s^2 + 4

Passo 5

Agora, juntamos as duas transformadas que calculamos:
Lf(t) = 4s - 5 + 2s^2 + 4

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = 4 e^5 t + sin 2 t é:
Lf(t) = 4s - 5 + 2s^2 + 4

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