Derive os dois lados desta equação e conclua que
0=f^prime(x)=4 sumn=1^infty cos ((2 n-1) pi x)
No entanto, o somatório do lado direito não é a série de Fourier da função nula. O que está errado?

Passo 1

O enunciado começa com uma função periódica f(x) dada pela série de Fourier
f(x)=4sumn=1^inftysinl((2n-1)pi xr)(2n-1)pi
e pede para derivar ambos os lados, obtendo
0=f'(x)=4sumn=1^inftycosl((2n-1)pi xr)
Só que essa última soma não é a série de Fourier da função zero. Vamos ver onde erra.

Passo 2

Para derivar termo a termo, começamos de
f(x)=4sumn=1^inftysinl((2n-1)pi xr)(2n-1)pi
Aplicando a regra de derivação de sin(ax), que é acos(ax), temos
f'(x)=4sumn=1^infty(2n-1)picosl((2n-1)pi xr)(2n-1)pi =4sumn=1^inftycosl((2n-1)pi xr)

Passo 3

Para trocar derivada e soma (derivação termo a termo) precisamos que a série original convirja uniformemente e que as derivadas parciais também convirjam uniformemente. No nosso caso f(x) é uma onda quadrada com descontinuidades, sua série de Fourier não converge uniformemente e nem as séries derivadas. Por isso a troca não é válida: o somatório de cos((2n-1)pi x) nem mesmo converge normalmente, então não representa a função nula. Esse uso indevido de derivação termo a termo é o que está errado.

Resposta

O erro está em derivar termo a termo uma série de Fourier que não converge uniformemente: não se pode trocar a soma pela derivada sem verificar essa convergência.

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