Derive os dois lados desta equação e conclua que
No entanto, o somatório do lado direito não é a série de Fourier da função nula. O que está errado?
Passo 1
O enunciado começa com uma função periódica f(x) dada pela série de Fourier
e pede para derivar ambos os lados, obtendo
Só que essa última soma não é a série de Fourier da função zero. Vamos ver onde erra.
Passo 2
Para derivar termo a termo, começamos de
Aplicando a regra de derivação de
, que é
, temos
Passo 3
Para trocar derivada e soma (derivação termo a termo) precisamos que a série original convirja uniformemente e que as derivadas parciais também convirjam uniformemente. No nosso caso f(x) é uma onda quadrada com descontinuidades, sua série de Fourier não converge uniformemente e nem as séries derivadas. Por isso a troca não é válida: o somatório de
nem mesmo converge normalmente, então não representa a função nula. Esse uso indevido de derivação termo a termo é o que está errado.
Resposta
O erro está em derivar termo a termo uma série de Fourier que não converge uniformemente: não se pode trocar a soma pela derivada sem verificar essa convergência.