Derive a expansão assintótica da função erro de Gauss erf(x)=1-erfc(x)=1-integralx^infty e^-t d t. Sugestão: .

Passo 1

Nesta questão, queremos a expansão assintótica de erf(x) para xtoinfty. O conteúdo aqui é o método de integração por partes aplicado à integral incompleta gaussiana, e vamos precisar usar a definição de erfc(x) e o fato de que erf(x)=1-erfc(x).

Passo 2

Primeiro, definimos a função complementar de erro:
erfc(x)=2raizpiintegralx^inftye^-t^2,dt
Como erf(x)=1-erfc(x), basta achar a expansão de erfc(x). Para isso, fazemos integração por partes em integralx^inftye^-t^2dt escolhendo
nu=e^-t^2, dv=dt
ou, de modo mais direto, usamos a fórmula-padrão
integralx^inftye^-t^2dt=[-e^-t^22t]x^infty+integralx^inftye^-t^22t^2dt=e^-x^22x+integralx^inftye^-t^22t^2dt
Repetindo o processo recursivamente em integralx^inftyt^-2e^-t^2dt, obtemos a série assintótica
integralx^inftye^-t^2dtsim e^-x^2sumk=0^n(-1)^k(2k-1)!!2^k+1x^2k+1
Multiplicando por 2/raizpi para recuperar erfc(x) e subtraindo de 1, chegamos à expansão desejada para erf(x).

Resposta

erf(x)simeq 1-e^-x^2raizpi,xgl(1-tfrac12x^2+tfrac1cdot3(2x^2)^2-cdots+(-1)^n(2n-1)!!2^nx^2ngr)

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