1. Se A for um operador hermitiano, então:
integral-infty^infty u1(x)^C A u2(x) d x=integral-infty^infty A^C u1(x)^C u2(x) d x
Com u1(x) e u2(x) quadraticamente integráveis e nulos nos limites.
Mostre que A=dd x é anti-hermitiano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador A = ddx é anti-hermitiano em L^2(R), ou seja, que seu adjunto satisfaz A^C = -A. Vamos usar a definição de operador adjunto e integração por partes, sabendo que as funções u1 e u2 são quadrado-integráveis e nulas nos limites.

Passo 2

Aplicamos a definição de adjunto: devemos comparar integral-infty^infty u1^*(x),A,u2(x),dx com integral-infty^infty (A^C,u1(x))^*,u2(x),dx. Para A=ddx temos
integral-infty^inftyu1^*(x),du2dx(x),dx = l[u1^*(x),u2(x)r]-infty^infty - integral-infty^inftydu1^*dx(x),u2(x),dx
Como u1 e u2 são nulas em x=pminfty, o termo de contorno desaparece, ficando
integral-infty^inftyu1^*,du2dx,dx = -integral-infty^inftydu1^*dx,u2,dx
Comparando com integral (A^C u1)^*,u2,dx = -integraldu1^*dx,u2,dx, vemos que (A^C u1)^* = -du1^*dx, ou seja, A^C u1 = -du1dx. Portanto A^C = -A.

Resposta

O adjunto é A^C = -ddx, logo A é anti-hermitiano.

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