Derive novamente as expansões assintóticas de Ci(x) e si(x) por repetidas integrações por partes. (Sugestão: Ci(x)+i si(x)=-integral0^infty e^i tt d t.).

Passo 1

Nesse exercício a gente quer encontrar as expansões assintóticas de Ci(x) e si(x) para xtoinfty, usando integrações por partes repetidas a partir da representação complexa
Ci(x)+i,si(x) ,=;-integralx^infty e^itt,dt
O conteúdo aqui é usar a técnica de integração por partes em integrais de tipo integralx^infty e^itt^-ndt.

Passo 2

Definimos a família de integrais
In(x)=integralx^infty e^itt^n,dt,
sendo I1(x)=integralx^infty e^it/t,dt. Aplicando integração por partes com
u=1t^n, dv=e^itdt
vem
In(x)=-e^ixi,x^n+ni,In+1(x)

Passo 3

Para n=1 obtemos
I1(x)=-e^ixix+1i,I2(x)
Em seguida repetimos a mesma conta em I2,I3,dots,IN, coletando os termos gerados a cada passo e deixando o resto IN+1(x)= O(1/x^N+1).

Passo 4

Somando os primeiros N termos e desprezando o resto, chega-se a
I1(x) sim -sumk=1^N(k-1)!(i)^k,e^ixx^k
Como
Ci(x)+i,si(x)=-I1(x),
temos
Ci(x)+i,si(x) sim sumk=1^N(k-1)!(i)^k,e^ixx^k

Passo 5

Notando que (i)^-k=(-i)^k e que
e^ix(-i)^k=e^i(x-kpi/2),
podemos reescrever
Ci(x)+i,si(x) sim sumk=1^N(k-1)!x^ke^i(x-kpi/2)

Passo 6

Finalmente basta separar parte real e imaginária. Fica então a expansão geral até ordem O(1/x^N+1):
Ci(x) sim sumk=1^N(k-1)!x^kcos!l(x-kpi2r),
si(x) sim sumk=1^N(k-1)!x^ksin!l(x-kpi2r)

Passo 7

Para fixar a ideia, os primeiros termos (até 1/x^4) são:
Ci(x) sim sin xx-cos xx^2-2!,sin xx^3+3!,cos xx^4+ Ol(1x^5r),
si(x) sim -cos xx-sin xx^2+2!,cos xx^3+3!,sin xx^4+ Ol(1x^5r)

Resposta

As expansões assintóticas para xtoinfty são
Ci(x)simsin xx-cos xx^2-2!,sin xx^3+3!,cos xx^4+cdots+ Ol(tfrac1x^N+1r),
si(x)sim-cos xx-sin xx^2+2!,cos xx^3+3!,sin xx^4+cdots+ Ol(tfrac1x^N+1r)

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