Derive novamente as expansões assintóticas de
e
por repetidas integrações por partes. (Sugestão:
.).
Passo 1
Nesse exercício a gente quer encontrar as expansões assintóticas de
e
para
, usando integrações por partes repetidas a partir da representação complexa
O conteúdo aqui é usar a técnica de integração por partes em integrais de tipo
.
Passo 2
Definimos a família de integrais
sendo
. Aplicando integração por partes com
vem
Passo 3
Para
obtemos
Em seguida repetimos a mesma conta em
, coletando os termos gerados a cada passo e deixando o resto
.
Passo 4
Somando os primeiros
termos e desprezando o resto, chega-se a
Como
temos
Passo 5
Notando que
e que
podemos reescrever
Passo 6
Finalmente basta separar parte real e imaginária. Fica então a expansão geral até ordem
:
Passo 7
Para fixar a ideia, os primeiros termos (até
) são:
Resposta
As expansões assintóticas para
são