E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(e) A_{q r s}^{o p}

Passo 1

Estamos lidando com um tensor de tipo (2,3), ou seja, com duas componentes contravariantes (índices em cima, o,p) e três componentes covariantes (índices em baixo, q,r,s). Para escrevê-lo sob uma nova coordenada \{x'^{i}\}, precisamos usar as derivadas das transformações de coordenadas (jacobianos).

Passo 2

Lembrando a lei de transformação geral de um tensor
\displaystyle T^{i_{1}\dots i_{p}}_{j_{1}\dots j_{q}},
temos
T'{}^{\,i'_{1}\dots i'_{p}}_{j'_{1}\dots j'_{q}} =\frac{\partial x'^{\,i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}} \cdots \frac{\partial x'^{\,i'_{p}}}{\partial x^{\,i_{p}}} \;\; \frac{\partial x^{\,j_{1}}}{\partial x'^{\,j'_{1}}} \cdots \frac{\partial x^{\,j_{q}}}{\partial x'^{\,j'_{q}}} \; T^{\,i_{1}\dots i_{p}}_{\,j_{1}\dots j_{q}}.

Passo 3

Aplicando ao nosso A^{op}_{qrs} (onde p=2 e q=3), obtemos
A'{}^{\,o'p'}_{q'r's'} = \frac{\partial x'^{\,o'}}{\partial x^{\,i}} \;\; \frac{\partial x'^{\,p'}}{\partial x^{\,j}} \;\; \frac{\partial x^{\,k}}{\partial x'^{\,q'}} \;\; \frac{\partial x^{\,\ell}}{\partial x'^{\,r'}} \;\; \frac{\partial x^{\,m}}{\partial x'^{\,s'}} \;A^{\,ij}_{\,k\ell m}\,,
onde índices repetidos i,j,k,\ell,m estão somados segundo a convenção de Einstein.

Resposta

A'{}^{\,o'p'}_{q'r's'} = \frac{\partial x'^{\,o'}}{\partial x^{\,i}} \frac{\partial x'^{\,p'}}{\partial x^{\,j}} \frac{\partial x^{\,k}}{\partial x'^{\,q'}} \frac{\partial x^{\,\ell}}{\partial x'^{\,r'}} \frac{\partial x^{\,m}}{\partial x'^{\,s'}} A^{\,ij}_{\,k\ell m}\,.

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