Derive.
f(x)=1+e^3 x1-e^5 x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para derivar a função f(x)=1+e^3 x1-e^5 x. O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas, que é uma parte importante do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma das ferramentas que precisamos quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.
A regra do quociente diz que se temos uma função definida como f(x) = u(x)v(x), onde u(x) e v(x) são funções de x, a derivada de f(x) é dada por:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)(v(x))^2
Aqui, u(x) = 1 + e^3x e v(x) = 1 - e^5x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x).
  1. Para u(x) = 1 + e^3x:
    • A derivada de 1 é 0 (porque a derivada de uma constante é sempre zero).
    • A derivada de e^3x usando a regra da cadeia é 3e^3x (porque a derivada de e^kx é ke^kx).
Então, u'(x) = 0 + 3e^3x = 3e^3x.
  1. Agora, para v(x) = 1 - e^5x:
    • A derivada de 1 é também 0.
    • A derivada de -e^5x é -5e^5x.
Assim, v'(x) = 0 - 5e^5x = -5e^5x.

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos aplicar a fórmula da regra do quociente:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)(v(x))^2
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = (3e^3x)(1 - e^5x) - (1 + e^3x)(-5e^5x)(1 - e^5x)^2
Vamos simplificar isso. Primeiro, expandindo o numerador:
  1. O primeiro termo: 3e^3x(1 - e^5x) = 3e^3x - 3e^8x.
  2. O segundo termo: (1 + e^3x)(-5e^5x) = -5e^5x - 5e^8x.
Agora, somando os dois resultados:
3e^3x - 3e^8x + 5e^5x + 5e^8x = 3e^3x + 5e^5x + (5e^8x - 3e^8x) = 3e^3x + 5e^5x + 2e^8x
Portanto, temos que:
f'(x) = 3e^3x + 5e^5x + 2e^8x(1 - e^5x)^2

Resposta

A derivada da função f(x)=1+e^3 x1-e^5 x é dada por:
f'(x) = 3e^3x + 5e^5x + 2e^8x(1 - e^5x)^2

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