Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(4+sen(3 x))^x.

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função y=(4+sen(3 x))^x utilizando a derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica útil quando temos variáveis elevadas a outras variáveis, como no nosso caso, onde y é igual a uma expressão elevada a x. Para resolver, a gente vai precisar da regra da cadeia e da propriedade dos logaritmos, que diz que ln(a^b) = b ln(a).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Assim, temos:
ln(y) = ln((4+sen(3 x))^x)
Utilizando a propriedade que mencionamos, podemos transformar o lado direito:
ln(y) = x cdot ln(4+sen(3 x))

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Aqui, vamos usar a regra da cadeia para a esquerda e a regra do produto à direita. Lembre-se que quando derivamos ln(y) em relação a x, precisamos multiplicar pela derivada de y em relação a x (que chamamos de dydx). Então, temos:
1y cdot dydx = ddx ( x cdot ln(4+sen(3 x)) )
Agora, vamos derivar o lado direito usando a regra do produto:
ddx (x cdot ln(4+sen(3 x))) = ln(4+sen(3 x)) + x cdot ddx(ln(4+sen(3 x)))
Para a derivada de ln(4+sen(3 x)), usamos a regra da cadeia:
ddx(ln(4+sen(3 x))) = 14+sen(3 x) cdot ddx(4+sen(3 x))
A derivada de 4+sen(3 x) é simplesmente 3 cdot cos(3 x) (derivada da função seno). Portanto, temos:
ddx(ln(4+sen(3 x))) = 3 cos(3 x)4+sen(3 x)
Substituindo isso na nossa derivada do lado direito:
ddx (x cdot ln(4+sen(3 x))) = ln(4+sen(3 x)) + x cdot 3 cos(3 x)4+sen(3 x)

Passo 4

Agora, colocando tudo junto:
1y cdot dydx = ln(4+sen(3 x)) + x cdot 3 cos(3 x)4+sen(3 x)
Multiplicamos ambos os lados por y para isolar dydx:
dydx = y ( ln(4+sen(3 x)) + x cdot 3 cos(3 x)4+sen(3 x) )

Passo 5

Agora, substituímos y de volta na expressão, que era (4+sen(3 x))^x:
dydx = (4+sen(3 x))^x ( ln(4+sen(3 x)) + x cdot 3 cos(3 x)4+sen(3 x) )

Resposta

A derivada d yd x é:
dydx = (4+sen(3 x))^x ( ln(4+sen(3 x)) + x cdot 3 cos(3 x)4+sen(3 x) )

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