Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
f(x)=1x^2-3 x, em a=2.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado. Nós precisamos calcular a derivada da função f(x)=1x^2-3 x no ponto a=2. O conteúdo que estamos usando aqui é o de derivadas, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar da definição de derivada, que é dada pela fórmula:
f'(a) = limh to 0 f(a+h) - f(a)h
Essa fórmula basicamente nos dá a taxa de variação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a=2 na função f(x) para acharmos f(2):
f(2) = 12^2 - 3 cdot 2 = 14 - 6 = 1-2 = -12
Agora, precisamos calcular f(2+h), onde vamos substituir x por 2 + h na função f(x):
f(2+h) = 1(2+h)^2 - 3(2+h)
Vamos simplificar essa expressão:
  1. Calculando (2+h)^2, temos 4 + 4h + h^2.
  2. Agora, calculamos -3(2+h), que é -6 - 3h.
  3. Portanto, a expressão se torna:
f(2+h) = 1(4 + 4h + h^2) - (6 + 3h) = 1h^2 + h - 2

Passo 3

Agora que temos f(2) = -12 e f(2+h) = 1h^2 + h - 2, vamos usar a definição da derivada que a gente mencionou no passo 1:
f'(2) = limh to 0 f(2+h) - f(2)h = limh to 0 1h^2 + h - 2 + 12h
Agora, precisamos simplificar essa fração. Primeiro, vamos colocar 12 em uma fração com o mesmo denominador que f(2+h):
12 = h^2 + h - 22(h^2 + h - 2)
Assim, podemos juntar as frações:
f'(2) = limh to 0 1 + 2(h^2 + h - 2)2(h^2 + h - 2)h
Simplificando, ficamos com:
f'(2) = limh to 0 1 + 2h^2 + 2h - 42h(h^2 + h - 2)
Agora, é uma boa ideia substituir h=0 na expressão que sobrou, mas isso leva a uma indeterminação. Assim, precisamos encontrar raízes do numerador. Vamos fatorar a parte 1 + 2h^2 + 2h - 4:
= 2h^2 + 2h - 3 = 2h^2 + 2h - 3 = 2(h - 1)(h + 32)
Agora vamos substituir isso na fórmula da derivada, o que nos dará uma forma que podemos cancelar com o denominador:
f'(2) = limh to 0 2(h - 1)(h + 32)2h(h^2 + h - 2) f'(2) = 1

Resposta

A derivada de f(x) = 1x^2 - 3x no ponto a=2 é -14.

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