(1,0) Derive f(x)=e^{x} \cdot x \cdot \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{x}\cdot x\cdot \ln(x),
que envolve produto de três fatores. Vamos usar a regra do produto estendida para três funções, além das derivadas básicas de e^{x}, de x e de \ln(x).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{x},\quad v(x)=x,\quad w(x)=\ln(x).
Então
u'(x)=e^{x},\quad v'(x)=1,\quad w'(x)=\frac{1}{x}.
Pela regra do produto para três fatores,
\bigl(u\,v\,w\bigr)'=u'\,v\,w \;+\;u\,v'\,w\;+\;u\,v\,w'.

Passo 3

Aplicando ao nosso f(x)=u\,v\,w, obtemos
f'(x) =e^{x}\cdot x\cdot \ln(x) \;+\;e^{x}\cdot 1\cdot \ln(x) \;+\;e^{x}\cdot x\cdot \frac{1}{x}.

Passo 4

Agora simplificamos e fatoramos e^{x}:
f'(x) =e^{x}\bigl[x\ln(x)+\ln(x)+1\bigr].

Resposta

f'(x)=e^{x}\bigl[x\ln(x)+\ln(x)+1\bigr].

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