Derive:
f(x)=\cos \left(\sqrt{\tan \left(\frac{\pi}{2 x}\right)}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\bigl(\sqrt{\tan\bigl(\tfrac{\pi}{2x}\bigr)}\bigr).
O conteúdo é regra de cadeia para funções compostas várias vezes: f(x)=\cos(u), u=\sqrt{v}, v=\tan(w), w=\tfrac{\pi}{2x}. Vamos precisar das derivadas de \cos, \sqrt{(\cdot)}, \tan e da função recíproca x^{-1}.

Passo 2

Definimos as funções internas:
w(x)=\frac{\pi}{2x},\quad v(x)=\tan\bigl(w(x)\bigr),\quad u(x)=\sqrt{v(x)},\quad f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra de cadeia,
f'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Derivamos u(x)=\sqrt{v(x)}=v(x)^{1/2}. Pela regra da potência mais cadeia,
u'(x)=\frac{1}{2\,\sqrt{v(x)}}\,v'(x).

Passo 4

Derivamos v(x)=\tan(w(x)). Aplicando a derivada da tangente e a cadeia,
v'(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(w(x)\bigr)\;w'(x).

Passo 5

Derivamos w(x)=\frac{\pi}{2x}=\frac{\pi}{2}\,x^{-1}. Logo
w'(x)=\frac{\pi}{2}\,(-1)\,x^{-2}=-\frac{\pi}{2x^2}.

Passo 6

Agora combinamos v'(x) e u'(x):
v'(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(w(x)\bigr)\,\bigl(-\tfrac{\pi}{2x^2}\bigr) =-\frac{\pi}{2x^2}\,\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{\pi}{2x}\bigr),
u'(x) =\frac{1}{2\sqrt{v(x)}}\,v'(x) =-\frac{1}{2\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2x})}} \;\frac{\pi}{2x^2}\,\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{\pi}{2x}\bigr) =-\frac{\pi\,\operatorname{sec}^2(\frac{\pi}{2x})}{4\,x^2\,\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2x})}}.

Passo 7

Substituímos em f'(x)=-\sin(u(x))\,u'(x):
f'(x) =-\sin\!\bigl(\sqrt{\tan(\tfrac{\pi}{2x})}\bigr) \;\Bigl(-\frac{\pi\,\operatorname{sec}^2(\frac{\pi}{2x})}{4\,x^2\,\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2x})}}\Bigr).
O duplo sinal negativo vira positivo.

Resposta

f'(x) =\frac{\pi\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{2x}\bigr)\,\sin\!\bigl(\sqrt{\tan(\tfrac{\pi}{2x})}\bigr)}{4\,x^2\,\sqrt{\tan(\tfrac{\pi}{2x})}}.

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