Derive:
f(x)=\ln \left(e^{x} \cos x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\ln\bigl(e^{x}\cos x\bigr). O conteúdo envolvido é derivação de função composta e uso das propriedades do logaritmo para simplificar antes de derivar.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo que diz \ln(AB)=\ln A+\ln B. Assim,
f(x)=\ln\bigl(e^{x}\bigr)+\ln\bigl(\cos x\bigr)
e como \ln(e^{x})=x, obtemos
f(x)=x+\ln\bigl(\cos x\bigr).

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. A derivada de x em relação a x é 1. Para \ln(\cos x), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \ln u é u'/u, com u=\cos x.

Passo 4

Calculamos u'=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x. Logo,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\cos x\bigr) =\frac{-\sin x}{\cos x} =-\tan x.
Somando com a derivada de x, temos
f'(x)=1-\tan x.

Resposta

f'(x)=1-\tan x.

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