Encontre a derivada e simplifique:
h(t)=\operatorname{arctg}(t)+\operatorname{arctg}(1 / t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(t)=\arctan(t)+\arctan\bigl(1/t\bigr).
O conteúdo necessário é a regra da soma de derivadas, a derivada de \arctan(u) dada por
\frac{d}{dt}\arctan(u)=\frac{u'}{1+u^2}
e a regra da cadeia para u=1/t.

Passo 2

Derivando o primeiro termo pela regra padrão:
\frac{d}{dt}\arctan(t)=\frac{1}{1+t^2}.

Passo 3

Derivando o segundo termo via regra da cadeia. Seja u=1/t, então u'=-1/t^2. Logo,
\frac{d}{dt}\arctan\bigl(1/t\bigr) =\frac{u'}{1+u^2} =-\frac{1/t^2}{1+(1/t)^2}.

Passo 4

Simplificando esse quociente:
-\frac{1/t^2}{1+1/t^2} =-\frac{1/t^2}{(t^2+1)/t^2} =-\frac{1}{t^2+1}.
Somando com o resultado do Passo 2, obtemos
h'(t)=\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{t^2+1}=0.

Resposta

h'(t)=0 para t\neq0.

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