Encontre a equação da reta tangente no ponto dado:
y=\ln (\tan x),\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y=\ln(\tan x) no ponto \bigl(\tfrac{\pi}{4},0\bigr). Vamos usar regras de derivação, em particular a regra da cadeia para \ln(u) e a derivada de \tan x.

Passo 2

Para y=\ln(\tan x), seja u(x)=\tan x. Pela regra da cadeia:
y' = \frac{u'(x)}{u(x)}.
Como \frac{d}{dx}[\tan x]=\operatorname{sec}^2 x, temos
y' = \frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x} = \frac{1/\cos^2 x}{\sin x/\cos x} = \frac{1}{\sin x\,\cos x}.

Passo 3

Agora avaliamos y' em x=\tfrac{\pi}{4}. Sabendo que \sin(\tfrac{\pi}{4})=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2}, temos
y'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{1}{\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{\sqrt2}{2}} = \frac{1}{\tfrac12} =2.
Logo o coeficiente angular da reta tangente é m=2.

Passo 4

Usando a fórmula da reta em ponto-pendente,
y - y_0 = m\,(x - x_0),
com (x_0,y_0)=\bigl(\tfrac{\pi}{4},0\bigr) e m=2, obtém-se
y - 0 = 2\Bigl(x - \tfrac{\pi}{4}\Bigr),
isto é,
y = 2x - \frac{\pi}{2}.

Resposta

y = 2x - \frac{\pi}{2}

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