Derive:
f(x)=e^{x \sin (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^{x\sin(2x)}. O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para funções exponenciais compostas e da regra do produto para derivar o expoente g(x)=x\sin(2x).

Passo 2

Como f(x)=e^{g(x)} com g(x)=x\sin(2x), pela regra da cadeia temos
f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).

Passo 3

Para obter g'(x) usamos a regra do produto em g(x)=x\sin(2x):
g'(x)=\frac{d}{dx}[x]\cdot\sin(2x)+x\cdot\frac{d}{dx}[\sin(2x)] =\sin(2x)+x\cdot(2\cos(2x)) =\sin(2x)+2x\cos(2x).

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x) resulta
f'(x) =e^{x\sin(2x)}\,\bigl(\sin(2x)+2x\cos(2x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x\sin(2x)}\bigl(\sin(2x)+2x\cos(2x)\bigr).

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