Derive:
f(x)=e^{-2 x} \cos (4 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
f(x)=e^{-2x}\cos(4x).
O conteúdo envolvido é derivada de produto de funções e uso da regra da cadeia (para exponencial e para cosseno).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{-2x} \quad\text{e}\quad v(x)=\cos(4x),
de modo que f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia para a exponencial:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr) =-2\,e^{-2x}.

Passo 4

Calculamos v'(x) usando a regra da cadeia para o cosseno:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos(4x)\bigr) =-\sin(4x)\cdot\frac{d}{dx}(4x) =-4\,\sin(4x).

Passo 5

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 6

Substituindo u, v, u' e v':
f'(x) =(-2\,e^{-2x})\cos(4x) +e^{-2x}(-4\,\sin(4x)) =e^{-2x}\bigl(-2\cos(4x)-4\sin(4x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{-2x}\bigl(-2\cos(4x)-4\sin(4x)\bigr).

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