Use o roteiro para esboçar o gráfico.
.
Passo 1
O enunciado pede esboçar o gráfico da função
O conteúdo é estudo de funções racionais, incluindo domínio, assíntotas, sinais, derivadas (monotonia e concavidade). Vamos precisar de: domínio e interceptos, assíntotas verticais e horizontais, cálculo de
e
, análise de monotonia, concavidade e extremos, e finalmente montar o esboço qualitativo.
Passo 2
Determinar o domínio e interceptos. O denominador exige
ou seja
e
. Logo o domínio é
Não há interceptos com o eixo
(numerador constante
) nem com o eixo
(não existe
).
Passo 3
Encontrar assíntotas.
Assíntotas verticais em e
, pois o denominador anula-se aí. Os limites são
Assíntotas verticais em
Para
,
logo há assíntote horizontal
.
Passo 4
Analisar o sinal de
. Como
segue que
se
e
se
. Em particular, em
o gráfico fica abaixo do eixo
; em
e em
fica acima do eixo.
Passo 5
Estudar monotonia e extremos via
. Como
vem, por derivação de
,
O numerador anula-se em
(fora do domínio) e
. Assim o único ponto crítico válido é
. O sinal de
em cada intervalo do domínio é
- em :
,
- em :
,
- em :
,
- em :
.
Concluímos que é decrescente em
, cresce em
e decresce em
. Há mínimo local em
- em
- em
- em
- em
Concluímos que
Passo 6
Estudar concavidade via
. Calculando derivada de
(ou por log-derivada), chega-se a
Como
para todo
, o sinal de
vem apenas de
. Logo
- se
(côncavo para baixo),
- se
(côncavo para cima).
Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre em , ponto de descontinuidade).
-
-
Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre em
Passo 7
Juntando tudo, o esboço qualitativo tem três ramos separados pelas assíntotas verticais:
- Para
: , decrescente e côncavo para baixo, aproxima-se de em e vai a em . - Para
: , decrescente até , mínimo local em , depois crescente até em , e é côncavo para cima. - Para
: , decrescente e côncavo para cima, vai a em e aproxima-se de em .
Resposta
O gráfico de
apresenta assíntotas verticais em
e
, assíntote horizontal em
, mínimo local em
, três ramos conforme descrito acima.