Use o roteiro para esboçar o gráfico.
f(x)=\frac{1}{x^{2}(x+3)}.

Passo 1

O enunciado pede esboçar o gráfico da função
f(x) = \frac{1}{x^{2}(x+3)}.
O conteúdo é estudo de funções racionais, incluindo domínio, assíntotas, sinais, derivadas (monotonia e concavidade). Vamos precisar de: domínio e interceptos, assíntotas verticais e horizontais, cálculo de f' e f'', análise de monotonia, concavidade e extremos, e finalmente montar o esboço qualitativo.

Passo 2

Determinar o domínio e interceptos. O denominador exige
x^{2}(x+3)\neq 0,
ou seja x\neq 0 e x\neq -3. Logo o domínio é
(-\infty,-3)\,\cup\,(-3,0)\,\cup\,(0,\infty).
Não há interceptos com o eixo x (numerador constante 1\neq 0) nem com o eixo y (não existe f(0)).

Passo 3

Encontrar assíntotas.
Assíntotas verticais em x=-3 e x=0, pois o denominador anula-se aí. Os limites são
\lim_{x\to -3^-}f(x) = -\infty, \quad \lim_{x\to -3^+}f(x) = +\infty,
\lim_{x\to 0^-}f(x) = +\infty, \quad \lim_{x\to 0^+}f(x) = +\infty.
Para x\to\pm\infty,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0,
logo há assíntote horizontal y=0.

Passo 4

Analisar o sinal de f. Como
\operatorname{sgn}f(x)=\operatorname{sgn}\bigl(x^2(x+3)\bigr)^{-1} =\operatorname{sgn}(x+3),
segue que f(x)<0 se x<-3 e f(x)>0 se x>-3. Em particular, em (-\infty,-3) o gráfico fica abaixo do eixo x; em (-3,0) e em (0,\infty) fica acima do eixo.

Passo 5

Estudar monotonia e extremos via f'. Como
f(x) = \bigl[x^2(x+3)\bigr]^{-1},
vem, por derivação de D^{-1},
f'(x) = -\frac{3x(x+2)}{x^4(x+3)^2}.
O numerador anula-se em x=0 (fora do domínio) e x=-2. Assim o único ponto crítico válido é x=-2. O sinal de f' em cada intervalo do domínio é
- em (-\infty,-3): f'<0,
- em (-3,-2): f'<0,
- em (-2,0): f'>0,
- em (0,\infty): f'<0.
Concluímos que f é decrescente em (-\infty,-2)\setminus\{-3\}, cresce em (-2,0) e decresce em (0,\infty). Há mínimo local em
\bigl(-2,\,f(-2)\bigr)=\Bigl(-2,\tfrac{1}{(-2)^2\cdot1}\Bigr)=\bigl(-2,\tfrac14\bigr).

Passo 6

Estudar concavidade via f''. Calculando derivada de f' (ou por log-derivada), chega-se a
f''(x) = \frac{6\bigl(2x^2+8x+9\bigr)}{x^4(x+3)^3}.
Como 2x^2+8x+9>0 para todo x, o sinal de f'' vem apenas de \operatorname{sgn}(x+3). Logo
- f''(x)<0 se x<-3 (côncavo para baixo),
- f''(x)>0 se x>-3 (côncavo para cima).
Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre em x=-3, ponto de descontinuidade).

Passo 7

Juntando tudo, o esboço qualitativo tem três ramos separados pelas assíntotas verticais:
  1. Para x<-3: f<0, decrescente e côncavo para baixo, aproxima-se de y=0^- em x\to -\infty e vai a -\infty em x\to -3^-.
  2. Para -3<x<0: f>0, decrescente até x=-2, mínimo local em (-2,1/4), depois crescente até +\infty em x\to0^-, e é côncavo para cima.
  3. Para x>0: f>0, decrescente e côncavo para cima, vai a +\infty em x\to0^+ e aproxima-se de y=0^+ em x\to+\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=\tfrac1{x^2(x+3)} apresenta assíntotas verticais em x=-3 e x=0, assíntote horizontal em y=0, mínimo local em \bigl(-2,\tfrac14\bigr), três ramos conforme descrito acima.

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