Derive:
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}}.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia e, internamente, a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac12}.
Logo, a derivada será dada por
f'(x)=\frac{1}{2\,\sqrt{u(x)}}\;u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x) por meio da regra do quociente. Seja
v(x)=x^{2}+4,\quad w(x)=x^{2}-4,
então v'(x)=2x e w'(x)=2x. Assim,
u'(x) =\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{\bigl(w(x)\bigr)^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}-4)-(x^{2}+4)\,2x}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{2x\bigl((x^{2}-4)-(x^{2}+4)\bigr)}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{2x(-8)}{(x^{2}-4)^{2}} =-\frac{16x}{(x^{2}-4)^{2}}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na regra da cadeia, obtemos
f'(x) =\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}}}\;\Bigl(-\frac{16x}{(x^{2}-4)^{2}}\Bigr) =-\frac{16x}{2\,(x^{2}-4)^{2}\,\sqrt{\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}}}.

Passo 5

Bastam simplificar fatores:
-\frac{16x}{2\,(x^{2}-4)^{2}\,\sqrt{\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}}} =-\frac{8x}{(x^{2}-4)^{2}}\;\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}}} =-\frac{8x}{(x^{2}-4)^{2}}\;\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{\sqrt{x^{2}+4}} =-\frac{8x}{(x^{2}-4)^{3/2}\,\sqrt{x^{2}+4}}.
Podemos ainda escrever
(x^{2}-4)^{3/2}\,\sqrt{x^{2}+4} =(x^{2}-4)\,\sqrt{(x^{2}-4)(x^{2}+4)} =(x^{2}-4)\,\sqrt{x^{4}-16},
ficando a forma final abaixo.

Resposta

f'(x) =-\frac{8x}{(x^{2}-4)^{3/2}\,\sqrt{x^{2}+4}} =-\frac{8x}{(x^{2}-4)\,\sqrt{x^{4}-16}}.

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