Derive:
f(x)=\sqrt[3]{1+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{1+\ln x}
O conteúdo aqui é cálculo de derivada de função composta, ou seja, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos uma função interna
u(x)=1+\ln x
e uma função externa
g(u)=u^{\tfrac13}
Assim, f(x)=g(u(x)).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
A derivada de g(u) em relação a u é
g'(u)=\frac{1}{3}\,u^{-\tfrac23}
e a derivada de u(x) em relação a x é
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) =\frac{1}{3}\,\bigl(u(x)\bigr)^{-\tfrac23}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{3}\,(1+\ln x)^{-\tfrac23}\cdot\frac{1}{x}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{3\,x\,(1+\ln x)^{\tfrac{2}{3}}}.

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