Derive:
f(x)=e^{x}(\cos x+\sin x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função
f(x)=e^{x}\bigl(\cos x+\sin x\bigr).
O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivada usando a regra do produto, além das derivadas conhecidas de e^{x}, \cos x e \sin x.

Passo 2

Seja
u(x)=e^{x}, \quad v(x)=\cos x+\sin x.
Aplicando a regra do produto, precisamos de u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
v'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x+\sin x)=-\sin x+\cos x.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =e^{x}\bigl(\cos x+\sin x\bigr) +e^{x}\bigl(-\sin x+\cos x\bigr).
Agora fatoramos e^{x} e somamos os termos no parêntese:
f'(x) =e^{x}\bigl(\cos x+\sin x-\sin x+\cos x\bigr) =e^{x}\bigl(2\cos x\bigr) =2e^{x}\cos x.

Resposta

f'(x)=2e^{x}\cos x.

Exercícios relacionados