Encontre a equação da reta tangente no ponto dado:
y=x \cos x,\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
y = x\cos x
no ponto \bigl(x_0,y_0\bigr) com
x_0 = \frac{\pi}{3},\quad y_0 = \frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}.
Para isso precisamos de (1) y_0 e (2) o coeficiente angular m = y'\bigl(x_0\bigr).

Passo 2

Calcular y_0 substituindo x_0 em y=x\cos x.
\cos\frac{\pi}{3} = \tfrac12 \qquad\Longrightarrow\qquad y_0 = \frac{\pi}{3}\cdot\frac12 = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

Obter a derivada y'= \frac{dy}{dx} por regra do produto:
y = x\cos x \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{d}{dx}(x)\,\cos x + x\,\frac{d}{dx}(\cos x) = 1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x) = \cos x - x\sin x.

Passo 4

Avaliar y' em x_0=\frac{\pi}{3}:
m = y'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \cos\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\,\sin\frac{\pi}{3} = \frac12 - \frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt3}{6} = \frac{3 - \pi\sqrt3}{6}.

Passo 5

Escrever a reta tangente em forma ponto-declive:
y - y_0 = m\bigl(x - x_0\bigr).
Substituindo y_0=\tfrac{\pi}{6}, x_0=\tfrac{\pi}{3} e
m=\tfrac{3-\pi\sqrt3}{6}, resulta
y - \frac{\pi}{6} = \frac{3 - \pi\sqrt3}{6}\, \Bigl(x - \frac{\pi}{3}\Bigr).

Resposta

\boxed{\,y - \frac{\pi}{6} = \frac{3 - \pi\sqrt3}{6}\,\bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\bigr)\,}.

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