Derive:
f(x)=\frac{1-\operatorname{sec} x}{\tan x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1-\operatorname{sec} x}{\tan x}.
Isso é um problema de cálculo de derivada de funções trigonométricas; vamos precisar usar álgebra para simplificar f(x) e depois derivar usando as regras conhecidas (derivadas de \cot x e \csc x, ou a regra do quociente).

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) em termos de senos e cossenos:
f(x) = \frac{1-\operatorname{sec} x}{\tan x} = \frac{1-\frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\frac{\cos x-1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x-1}{\sin x}.

Passo 3

Reconhecendo agora funções trigonométricas padrão, escrevemos
\frac{\cos x-1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{1}{\sin x} = \cot x - \csc x.
Logo
f(x)=\cot x - \csc x.

Passo 4

Derivamos termo a termo usando
\frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2 x, \qquad \frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x.
Então
f'(x) = \frac{d}{dx}(\cot x)-\frac{d}{dx}(\csc x) = \bigl(-\csc^2 x\bigr)-\bigl(-\csc x\cot x\bigr) = -\csc^2 x+\csc x\cot x.

Passo 5

Para finalizar, colocamos em uma única fração:
-\csc^2 x+\csc x\cot x = \frac{-1}{\sin^2 x}+\frac{\cos x}{\sin^2 x} = \frac{\cos x-1}{\sin^2 x}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos x-1}{\sin^2 x}.

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