Encontre o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites usando a famosa propriedade
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Para aproveitar essa propriedade, fazemos a substituição
\;u = x^2,
de modo que u\to0 quando x\to0. Reescrevemos a expressão:
\frac{\sin(x^2)}{x} = \frac{\sin(u)}{u}\,\frac{u}{x}.

Passo 3

Avaliamo separadamente cada fator:
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u} = 1, \qquad \frac{u}{x} = x \;\Longrightarrow\; \lim_{x\to0}x = 0.
Pelo teorema do produto de limites,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{x} = 1 \times 0 = 0.

Resposta

0

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