Encontre o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi x)}{5 x^{3}-4 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(\pi x)}{5x^{3}-4x}.
Esse é um limite do tipo 0/0, então vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 e as derivadas existem, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 2

Verificamos a indeterminação por substituição direta:
\sin(\pi\cdot 0)=0 e 5\cdot0^{3}-4\cdot0=0.
Logo temos 0/0 e podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
  • Derivada do numerador:
    \bigl(\sin(\pi x)\bigr)'=\pi\cos(\pi x).
  • Derivada do denominador:
    \bigl(5x^{3}-4x\bigr)'=15x^{2}-4.
    Pelo l’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\pi x)}{5x^{3}-4x} =\lim_{x\to 0}\frac{\pi\cos(\pi x)}{15x^{2}-4}.

Passo 4

Agora substituímos x=0:
  • No numerador fica \pi\cos(0)=\pi.
  • No denominador fica 15\cdot0^{2}-4=-4.
    Portanto o limite é
\frac{\pi}{-4} = -\frac{\pi}{4}.

Resposta

-\tfrac{\pi}{4}

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