Derive.
f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{a x+b}{c x+d},
onde x é a variável e a,b,c,d são constantes reais (assumimos isso). O domínio natural da função é dado pelos x tais que c x+d\neq0.
O que o problema pede: encontrar a derivada f'(x) — isto é, a taxa de variação de f em relação a x (a inclinação da reta tangente em cada ponto do domínio).

Passo 2

Método que vamos usar: a regra do quociente (uma consequência das regras do produto e da cadeia). Vou explicar essas ideias de forma simples.
  • Se tivermos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0, a derivada do quociente u/v é dada pela regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explicação rápida dessa fórmula (sem pular etapas): escrevemos \frac{u}{v}=u\cdot v^{-1}. Pela regra do produto,
(u\cdot v^{-1})' = u'\cdot v^{-1} + u\cdot (v^{-1})'.
Pelo efeito da cadeia, a derivada de v^{-1} é (v^{-1})'=-\dfrac{v'}{v^{2}}. Substituindo,
(u\cdot v^{-1})' = \frac{u'}{v} - u\frac{v'}{v^{2}}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Pronto: essa é a regra do quociente, e é o que vamos aplicar ao nosso caso.

Passo 3

Identificamos u(x)=a x+b e v(x)=c x+d. Agora calculamos as derivadas simples de u e v:
u'(x)=a, \qquad v'(x)=c,
porque a derivada de a x+b em relação a x é a (constante multiplicando x) e a de c x+d é c.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{a\,(c x+d)-(a x+b)\,c}{(c x+d)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
a\,(c x+d)-(a x+b)\,c = a c x + a d - a c x - b c = a d - b c.
Portanto a expressão fica
f'(x)=\frac{a d - b c}{(c x+d)^{2}}.

Passo 5

Observações finais importantes e úteis na prova:
  • O resultado vale para todo x do domínio, isto é, para x tais que c x+d\neq0.
  • Se c=0 a função reduz a f(x)=\dfrac{a x+b}{d}=\dfrac{a}{d}x+\dfrac{b}{d} e a fórmula dá \dfrac{ad-bc}{d^{2}}=\dfrac{ad-0}{d^{2}}=\dfrac{a}{d}, consistente com a derivada de uma reta.
  • Se a d-b c=0 então f'(x)=0 para todo x do domínio, ou seja, a função é constante no domínio (isso ocorre quando os numeradores e denominadores são proporcionais).
  • Em provas, ao apresentar a derivada de uma fração linear como essa, vale a pena mencionar domínio e, se relevante, os casos especiais acima.

Resposta

f'(x)=\frac{a d - b c}{(c x+d)^{2}}

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