Derive.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
onde
é a variável e
são constantes reais (assumimos isso). O domínio natural da função é dado pelos
tais que
.
O que o problema pede: encontrar a derivada — isto é, a taxa de variação de
em relação a
(a inclinação da reta tangente em cada ponto do domínio).
O que o problema pede: encontrar a derivada
Passo 2
Método que vamos usar: a regra do quociente (uma consequência das regras do produto e da cadeia). Vou explicar essas ideias de forma simples.
- Se tivermos duas funções
e com , a derivada do quociente é dada pela regra do quociente:
Explicação rápida dessa fórmula (sem pular etapas): escrevemos
. Pela regra do produto,
Pelo efeito da cadeia, a derivada de
é
. Substituindo,
Pronto: essa é a regra do quociente, e é o que vamos aplicar ao nosso caso.
Passo 3
Identificamos
e
. Agora calculamos as derivadas simples de
e
:
porque a derivada de
em relação a
é
(constante multiplicando
) e a de
é
.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Portanto a expressão fica
Passo 5
Observações finais importantes e úteis na prova:
- O resultado vale para todo
do domínio, isto é, para tais que . - Se
a função reduz a e a fórmula dá , consistente com a derivada de uma reta. - Se
então para todo do domínio, ou seja, a função é constante no domínio (isso ocorre quando os numeradores e denominadores são proporcionais). - Em provas, ao apresentar a derivada de uma fração linear como essa, vale a pena mencionar domínio e, se relevante, os casos especiais acima.