Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x+1}, \quad(1,0)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma equação da reta tangente à curva dada por y=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+x+1} no ponto (1,0).
Informações relevantes:
  • A função é y=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+x+1}.
  • O ponto onde devemos tangenciar é (1,0).
  • Para obter a reta tangente precisamos do coeficiente angular (declive) da reta, que é a derivada da função avaliada em x=1.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (bem devagarinho): a equação da reta tangente a uma curva no ponto (x_0,y_0) é dada por
y-y_0=m\,(x-x_0),
onde m é a derivada da função no ponto, isto é m=y'(x_0).
Para calcular y'(x) quando y é uma razão de duas funções usamos a regra do quociente. Se y=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
y'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui vamos identificar u(x) e v(x) e calcular suas derivadas passo a passo.

Passo 3

Identificação e derivadas:
  • Tome u(x)=x^{2}-1. Então u'(x)=2x.
  • Tome v(x)=x^{2}+x+1. Então v'(x)=2x+1.
Aplicando a regra do quociente:
y'(x)=\frac{2x\,(x^{2}+x+1)-(x^{2}-1)\,(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}.

Passo 4

Desenvolvendo e simplificando o numerador com cuidado:
Primeiro termo: 2x\,(x^{2}+x+1)=2x^{3}+2x^{2}+2x.
Segundo termo: (x^{2}-1)\,(2x+1)=2x^{3}+x^{2}-2x-1.
Subtraindo:
\begin{aligned} \text{numerador} &= (2x^{3}+2x^{2}+2x) - (2x^{3}+x^{2}-2x-1)\\\ &= (2x^{3}-2x^{3}) + (2x^{2}-x^{2}) + (2x-(-2x)) + (0-(-1))\\\ &= x^{2}+4x+1. \end{aligned}
Portanto
y'(x)=\frac{x^{2}+4x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=1 para obter o declive m.
Calcule o numerador em x=1: 1^{2}+4\cdot1+1=1+4+1=6.
Calcule o denominador em x=1: (1^{2}+1+1)^{2}=(1+1+1)^{2}=3^{2}=9.
Logo
m=y'(1)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Também verificando que o ponto pertence à curva: y(1)=\dfrac{1^{2}-1}{1^{2}+1+1}=0, consistente com (1,0).

Passo 6

Agora escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive y-y_0=m(x-x_0) com (x_0,y_0)=(1,0) e m=\dfrac{2}{3}:
y-0=\frac{2}{3}(x-1).
Simplificando:
y=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}.

Resposta

y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3}

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