Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma equação da reta tangente à curva dada por
no ponto
.
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto onde devemos tangenciar é
. - Para obter a reta tangente precisamos do coeficiente angular (declive) da reta, que é a derivada da função avaliada em
.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (bem devagarinho): a equação da reta tangente a uma curva no ponto
é dada por
onde
é a derivada da função no ponto, isto é
.
Para calcular
quando
é uma razão de duas funções usamos a regra do quociente. Se
, então
Aqui vamos identificar
e
e calcular suas derivadas passo a passo.
Passo 3
Identificação e derivadas:
- Tome
. Então . - Tome
. Então .
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Desenvolvendo e simplificando o numerador com cuidado:
Primeiro termo: .
Primeiro termo:
Segundo termo:
.
Subtraindo:
Portanto
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter o declive
.
Calcule o numerador em
:
.
Calcule o denominador em
:
.
Logo
Também verificando que o ponto pertence à curva:
, consistente com
.
Passo 6
Agora escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive
com
e
:
Simplificando: