Encontre as equações de retas tangentes à curva
y=\frac{x-1}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a curva
y=\frac{x-1}{x+1}
e pede: “Encontre as equações de retas tangentes à curva.” Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida para x\neq -1 (pois o denominador x+1 não pode ser zero).
  • O que se quer são as equações das retas que tocam a curva em pontos da mesma (ou seja, as retas tangentes em pontos (x_0,y_0) da curva).

Passo 2

O que é uma reta tangente, de forma prática para a prova: é a reta que toca a curva em um ponto (x_0,y_0) e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. A inclinação da curva num ponto é dada pela derivada da função naquele ponto.
Fórmula padrão da reta tangente em x_0:
\text{reta tangente:}\qquad y-y_0 = y'(x_0)\,(x-x_0),
onde:
  • x_0 é a abscissa do ponto de tangência;
  • y_0 é a ordenada no ponto, isto é y_0=f(x_0);
  • y'(x_0) é a derivada da função avaliada em x_0, que dá a inclinação da reta.
Vou usar essa fórmula: preciso de y_0 e de y'(x_0).

Passo 3

Calcular y_0 em função de x_0. Substituindo x=x_0 na função:
y_0 = f(x_0)=\frac{x_0-1}{x_0+1}.
Observação útil (para facilitar a derivação): é conveniente reescrever a função para uma diferenciação mais direta:
y=\frac{x-1}{x+1}= \frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}.
Essa forma é equivalente e torna a diferenciação mais simples.

Passo 4

Calcular a derivada y'. A partir de y=1-2(x+1)^{-1}, usar regra de potência e regra da cadeia:
y' = -2\cdot (-1)\,(x+1)^{-2} = \frac{2}{(x+1)^2}.
Explicando as regras usadas:
  • Regra de potência: \dfrac{d}{dx}(x+1)^{n}=n(x+1)^{n-1}.
  • Regra da cadeia: quando há (x+1)^{n}, multiplicamos pela derivada do interior (x+1)', que é 1.
    Aplicando com n=-1 e fator -2 obtemos o resultado acima.
Logo, a inclinação da tangente no ponto x_0 é
m_0 = y'(x_0)=\frac{2}{(x_0+1)^2}.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação usando os valores encontrados:
y - \frac{x_0-1}{x_0+1} = \frac{2}{(x_0+1)^2}\,(x-x_0),\qquad x_0\neq -1.
Essa é uma resposta válida e direta: para cada x_0\neq -1 essa equação dá a reta tangente no ponto de abscissa x_0.

Passo 6

Colocar também a forma reduzida y=mx+b. Calculamos o termo independente b:
b = y_0 - m_0 x_0 = \frac{x_0-1}{x_0+1} - \frac{2}{(x_0+1)^2}\,x_0 = \frac{(x_0-1)(x_0+1)-2x_0}{(x_0+1)^2}.
Agora desenvolvendo o numerador:
(x_0-1)(x_0+1)=x_0^2-1,
portanto
b=\frac{x_0^2-1-2x_0}{(x_0+1)^2}=\frac{x_0^2-2x_0-1}{(x_0+1)^2}.
Logo a forma y=mx+b da reta tangente é
y=\frac{2}{(x_0+1)^2}\,x + \frac{x_0^2-2x_0-1}{(x_0+1)^2},\qquad x_0\neq -1.

Passo 7

Observações finais e exemplos rápidos para fixar:
  • Não existe reta tangente para x_0=-1 porque a função não está definida aí (há uma assíntota vertical).
  • A inclinação m_0=\dfrac{2}{(x_0+1)^2} é sempre positiva para todo x_0\neq -1, então a curva é crescente nos dois ramos.
    Exemplos concretos:
  • Para x_0=0: y_0=-1, m_0=2. Reta tangente: y+1=2(x-0), ou y=2x-1.
  • Para x_0=1: y_0=0, m_0=\tfrac{1}{2}. Reta tangente: y=\tfrac{1}{2}x.

Resposta

\displaystyle y - \frac{x_0-1}{x_0+1} = \frac{2}{(x_0+1)^2}\,(x-x_0),\quad x_0\neq -1.
\displaystyle y=\frac{2}{(x_0+1)^2}\,x + \frac{x_0^2-2x_0-1}{(x_0+1)^2},\quad x_0\neq -1.

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