Encontre as equações de retas tangentes à curva
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede: “Encontre as equações de retas tangentes à curva.” Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida para
(pois o denominador não pode ser zero). - O que se quer são as equações das retas que tocam a curva em pontos da mesma (ou seja, as retas tangentes em pontos
da curva).
Passo 2
O que é uma reta tangente, de forma prática para a prova: é a reta que toca a curva em um ponto
e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. A inclinação da curva num ponto é dada pela derivada da função naquele ponto.
Fórmula padrão da reta tangente em
:
onde:
-
é a abscissa do ponto de tangência; -
é a ordenada no ponto, isto é ; -
é a derivada da função avaliada em , que dá a inclinação da reta.
Vou usar essa fórmula: preciso de
e de
.
Passo 3
Calcular
em função de
. Substituindo
na função:
Observação útil (para facilitar a derivação): é conveniente reescrever a função para uma diferenciação mais direta:
Essa forma é equivalente e torna a diferenciação mais simples.
Passo 4
Calcular a derivada
. A partir de
, usar regra de potência e regra da cadeia:
Explicando as regras usadas:
- Regra de potência:
. - Regra da cadeia: quando há
, multiplicamos pela derivada do interior , que é .
Aplicando come fator obtemos o resultado acima.
Logo, a inclinação da tangente no ponto
é
Passo 5
Escrever a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação usando os valores encontrados:
Essa é uma resposta válida e direta: para cada
essa equação dá a reta tangente no ponto de abscissa
.
Passo 6
Colocar também a forma reduzida
. Calculamos o termo independente
:
Agora desenvolvendo o numerador:
portanto
Logo a forma
da reta tangente é
Passo 7
Observações finais e exemplos rápidos para fixar:
- Não existe reta tangente para
porque a função não está definida aí (há uma assíntota vertical). - A inclinação
é sempre positiva para todo , então a curva é crescente nos dois ramos.
Exemplos concretos: - Para
: , . Reta tangente: , ou . - Para
: , . Reta tangente: .