Derive:
f(x)=x^{2} \sin x \operatorname{tg} x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}\,\sin x\,\tan x.
Aqui o conteúdo é a regra do produto para três fatores, além das derivadas de \sin x e de \tan x.

Passo 2

Identificamos os três fatores e suas derivadas: u(x)=x^{2}, logo
u'(x)=2x. v(x)=\sin x, logo
v'(x)=\cos x. w(x)=\tan x, logo
w'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Pela regra do produto para três funções, temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)\;+\;u(x)\,v'(x)\,w(x)\;+\;u(x)\,v(x)\,w'(x).

Passo 4

Substituindo u,u',v,v',w,w' obtemos
f'(x) =2x\cdot\sin x\cdot\tan x \;+\;x^{2}\cdot\cos x\cdot\tan x \;+\;x^{2}\cdot\sin x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Se quisermos, podemos deixar assim ou ainda fatorar em parte, por exemplo
f'(x) =x^{2}\sin x\,\operatorname{sec}^{2}x +\tan x\,(2x\sin x+x^{2}\cos x).

Resposta

f'(x) =2x\,\sin x\,\tan x \;+\;x^{2}\,\cos x\,\tan x \;+\;x^{2}\,\sin x\,\operatorname{sec}^{2}x.

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