Questão 8
Considere a sequência
(a) Determine os 5 primeiros termos desta sequência. (0,25 ponto)
(b) Mostre, por indução, que a sequência (
) é crescente. ( 0,50 ponto)
(c) Mostre, por indução, que a sequência (
) é limitada superiormente por 2. (0,50 ponto)
Considere a sequência
(b) Mostre, por indução, que a sequência (
(c) Mostre, por indução, que a sequência (
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência definida por
e pede três coisas:
(a) os cinco primeiros termos;
(b) provar por indução que é crescente
;
(c) provar por indução que é limitada superiormente por
.
(a) os cinco primeiros termos;
(b) provar por indução que
(c) provar por indução que
Passo 2
Para (a), calculamos diretamente:
Logo, os cinco primeiros termos são todos iguais a
.
Passo 3
Prova por indução de que
para todo
.
Base
:
Passo indutivo: suponha que para certo
valha
Então, como a função
é crescente em
,
Isso fecha a indução, mostrando que
.
Passo 4
Prova por indução de que
para todo
.
Base
:
Passo indutivo: suponha que
. Então
Isso fecha a indução, mostrando que
.
Resposta
(a)
.
(b) Por indução, para todo
, logo a sequência é crescente.
(c) Por indução, para todo
, logo a sequência é limitada superiormente por
.
(b) Por indução,
(c) Por indução,