Questão 8
Considere a sequência
a_{1}=2 \text { e } a_{k+1}=\sqrt{2+a_{k}} .
(a) Determine os 5 primeiros termos desta sequência. (0,25 ponto)
(b) Mostre, por indução, que a sequência ( a_{k} ) é crescente. ( 0,50 ponto)
(c) Mostre, por indução, que a sequência ( a_{k} ) é limitada superiormente por 2. (0,50 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência definida por
a_{1}=2
a_{k+1}=\sqrt{2+a_{k}}
e pede três coisas:
(a) os cinco primeiros termos;
(b) provar por indução que (a_{k}) é crescente \forall k,\;a_{k}\le a_{k+1};
(c) provar por indução que (a_{k}) é limitada superiormente por 2 \forall k,\;a_{k}\le2.

Passo 2

Para (a), calculamos diretamente:
a_{1}=2
a_{2}=\sqrt{2+a_{1}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2
a_{3}=\sqrt{2+a_{2}}=\sqrt{2+2}=2
a_{4}=\sqrt{2+a_{3}}=2
a_{5}=\sqrt{2+a_{4}}=2
Logo, os cinco primeiros termos são todos iguais a 2.

Passo 3

Prova por indução de que a_{k}\le a_{k+1} para todo k\ge1.
Base k=1:
a_{1}=2,\quad a_{2}=2\quad\Longrightarrow\quad a_{1}\le a_{2}.
Passo indutivo: suponha que para certo k valha
a_{k}\le a_{k+1}.
Então, como a função x\mapsto\sqrt{2+x} é crescente em \mathbb{R},
a_{k+1}=\sqrt{2+a_{k}} \le \sqrt{2+a_{k+1}} = a_{k+2}.
Isso fecha a indução, mostrando que \forall k,\;a_{k}\le a_{k+1}.

Passo 4

Prova por indução de que a_{k}\le2 para todo k\ge1.
Base k=1:
a_{1}=2\quad\Longrightarrow\quad a_{1}\le2.
Passo indutivo: suponha que a_{k}\le2. Então
a_{k+1} =\sqrt{2+a_{k}} \le \sqrt{2+2} =\sqrt{4} =2.
Isso fecha a indução, mostrando que \forall k,\;a_{k}\le2.

Resposta

(a) a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=2.
(b) Por indução, a_{k}\le a_{k+1} para todo k, logo a sequência é crescente.
(c) Por indução, a_{k}\le2 para todo k, logo a sequência é limitada superiormente por 2.

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