Questão 7
Considere a função
f(x, y)=\sqrt{3} \cos (x)+\operatorname{sen}(x) .
(a) Determine \alpha \in[0,2 \pi] para que f possa ser escrita na forma
f(x)=2 \cos (x+\alpha) . \quad(0,50 \text { ponto })
(b) Encontre em \mathbb{R} as soluções da equação
\sqrt{3} \cos (x)+\operatorname{sen}(x)=2 . \quad(0,75 \text { ponto })

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{3}\cos(x)+\operatorname{sen}(x)
e pede em (a) escrevê-la na forma
f(x)=2\cos(x+\alpha),\quad \alpha\in[0,2\pi],
usando a identidade de soma de ângulos para combinar \cos e \operatorname{sen}. Em (b) resolve-se a equação
\sqrt{3}\cos(x)+\operatorname{sen}(x)=2
no conjunto \mathbb{R}.

Passo 2

Para combinar \sqrt{3}\cos(x)+\operatorname{sen}(x) num único cosseno, procuramos R e \varphi tais que
R\cos(x-\varphi)=\sqrt{3}\cos(x)+\operatorname{sen}(x).
Pelos coeficientes,
R\cos\varphi=\sqrt{3},\quad R\operatorname{sen}\varphi=1.
Daí
R=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.
E
\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \operatorname{sen}\varphi=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{6}.

Passo 3

Substituindo R=2 e \varphi=\tfrac{\pi}{6}, temos
f(x)=2\cos\Bigl(x-\tfrac{\pi}{6}\Bigr).
Para escrever f(x)=2\cos(x+\alpha), basta igualar
x+\alpha = x-\frac{\pi}{6}\quad\Longrightarrow\quad \alpha = -\frac{\pi}{6}.
Como \alpha deve estar em [0,2\pi], somamos 2\pi:
\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.

Passo 4

Agora resolvemos
\sqrt{3}\cos(x)+\operatorname{sen}(x)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\cos\bigl(x+\tfrac{11\pi}{6}\bigr)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\bigl(x+\tfrac{11\pi}{6}\bigr)=1.
A igualdade \cos(\theta)=1 ocorre quando \theta=2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Logo
x+\frac{11\pi}{6} = 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = 2k\pi - \frac{11\pi}{6} = \frac{12k\pi -11\pi}{6} = \frac{(12k-11)\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

(a) \alpha = \tfrac{11\pi}{6}.
(b) x = \tfrac{(12k-11)\pi}{6},\;k\in\mathbb{Z}.

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