Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôpital não for aplicável, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{\sin x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{\sin x}
O conteúdo envolve limites de forma indeterminada e a Regra de L’Hôpital, além de conhecimento de séries de Taylor.

Passo 2

Testamos a substituição direta em x=0:
e^{0}-1 = 0 \quad\text{e}\quad \sin(0)=0,
logo obtemos a forma \tfrac{0}{0}, que é indeterminada.

Passo 3

Como temos 0/0, aplicamos a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador.
Derivada de e^{x} é e^{x} e derivada de \sin x é \cos x.
O limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{\cos x}.

Passo 4

Agora avaliamos por substituição direta em x=0:
\frac{e^{0}}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 5

Método alternativo (mais elementar): usar séries de Taylor em torno de 0:
e^{x}-1 = x + o(x), \quad \sin x = x + o(x),
então
\frac{e^{x}-1}{\sin x} = \frac{x+o(x)}{x+o(x)} \to 1.

Resposta

1

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