Derive.
J(\mathrm{v})=\left(\mathrm{v}^{3}-2 \mathrm{v}\right)\left(\mathrm{v}^{-4}+\mathrm{v}^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função dada. A função fornecida é
J(\mathrm{v})=\left(\mathrm{v}^{3}-2\mathrm{v}\right)\left(\mathrm{v}^{-4}+\mathrm{v}^{-2}\right).
A tarefa é calcular \dfrac{d}{d\mathrm{v}}J(\mathrm{v}) e apresentar o resultado final.

Passo 2

Escolha do método: aqui é mais simples primeiro multiplicar as potências (ous seja, expandir o produto) e depois derivar termo a termo, porque ao expandir obtemos soma de potências de \mathrm{v} e então aplicamos a regra de potência de forma direta. Isso evita ter de aplicar a regra do produto duas vezes e torna as contas mais diretas numa prova sem calculadora.

Passo 3

Expandir o produto termo a termo. Vou multiplicar cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo:
\begin{aligned} J(\mathrm{v}) &= \mathrm{v}^{3}\cdot\mathrm{v}^{-4} + \mathrm{v}^{3}\cdot\mathrm{v}^{-2} - 2\mathrm{v}\cdot\mathrm{v}^{-4} - 2\mathrm{v}\cdot\mathrm{v}^{-2} \\\ &= \mathrm{v}^{3-4} + \mathrm{v}^{3-2} - 2\mathrm{v}^{1-4} - 2\mathrm{v}^{1-2} \\\ &= \mathrm{v}^{-1} + \mathrm{v}^{1} - 2\mathrm{v}^{-3} - 2\mathrm{v}^{-1}. \end{aligned}
Agora combinar os termos semelhantes ( \mathrm{v}^{-1} aparece duas vezes):
J(\mathrm{v}) = \mathrm{v} + \bigl(1-2\bigr)\mathrm{v}^{-1} - 2\mathrm{v}^{-3} = \mathrm{v} - \mathrm{v}^{-1} - 2\mathrm{v}^{-3}.

Passo 4

Relembrando a regra que vamos usar (aulas rápidas):
  • Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Regra da potência: para qualquer real n, \dfrac{d}{d\mathrm{v}}\bigl(\mathrm{v}^{n}\bigr)=n\,\mathrm{v}^{n-1}.
Vou aplicar essas regras termo a termo em J(\mathrm{v})=\mathrm{v}-\mathrm{v}^{-1}-2\mathrm{v}^{-3}.

Passo 5

Derivar cada termo separadamente:
  • Para \mathrm{v} (que é \mathrm{v}^{1}):
\dfrac{d}{d\mathrm{v}}\bigl(\mathrm{v}\bigr)=1\cdot\mathrm{v}^{1-1}=1\cdot\mathrm{v}^{0}=1.
  • Para -\mathrm{v}^{-1}:
\dfrac{d}{d\mathrm{v}}\bigl(-\mathrm{v}^{-1}\bigr) = -\bigl(-1\bigr)\mathrm{v}^{-1-1}=1\cdot\mathrm{v}^{-2}=\mathrm{v}^{-2}.
  • Para -2\mathrm{v}^{-3}:
\dfrac{d}{d\mathrm{v}}\bigl(-2\mathrm{v}^{-3}\bigr) = -2\cdot(-3)\mathrm{v}^{-3-1}=6\mathrm{v}^{-4}.

Passo 6

Somando as derivadas termo a termo, obtemos a derivada final:
\dfrac{d}{d\mathrm{v}}J(\mathrm{v}) = 1 + \mathrm{v}^{-2} + 6\mathrm{v}^{-4}.
Se preferir em frações com potências positivas:
\dfrac{d}{d\mathrm{v}}J(\mathrm{v}) = 1 + \dfrac{1}{\mathrm{v}^{2}} + \dfrac{6}{\mathrm{v}^{4}}.

Resposta

\dfrac{d}{d\mathrm{v}}J(\mathrm{v})=1+\mathrm{v}^{-2}+6\mathrm{v}^{-4}

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