Quantas retas tangentes à curva
passam pelo ponto
? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) quantas retas tangentes à curva passam pelo ponto
; (b) em quais pontos da curva essas retas tocam a curva. Informações dadas:
- A curva é
. - O ponto externo por onde as tangentes devem passar é
. - Domínio da curva:
(pois não pode ser zero).
Passo 2
Ideia-chave (mini-aula): a reta tangente à curva num ponto
tem coeficiente angular igual à derivada
. Então primeiro vamos achar
, que é a taxa de variação instantânea (ou inclinação da reta tangente) da função.
Calcule a derivada. Uma forma fácil é reescrever a função:
Derivando termo a termo (a derivada de
é
, e a derivada de
usa regra da cadeia) obtemos
Explicação simples:
e a derivada é
.
Passo 3
Agora escrevemos a equação da reta tangente no ponto de abscissa
. O ponto da curva é
e o coeficiente angular é
. A equação ponto-declive da tangente é
Passo 4
Condicionamos que essa reta passe por
. Substituindo
na equação da tangente:
O objetivo agora é resolver essa equação para
(as abscissas dos possíveis pontos de tangência).
Passo 5
Simplificamos a equação passo a passo. Primeiro junta o lado esquerdo numa fração:
Assim a equação vira
Multiplicando ambos os lados por
(válido desde que
, e lembrarei disso depois):
Passo 6
Expandindo e recolhendo termos:
Resolvendo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então há duas soluções para
:
Passo 7
Verificação de domínio: precisamos garantir
. Numericamente
e
; nenhum é
. Logo ambos são válidos e correspondem a duas tangentes distintas.
Passo 8
Agora calculamos as ordenadas correspondentes usando
.
Para
tem-se
. Então
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
) obtemos
Para
tem-se
. Então
Racionalizando por
obtemos
Passo 9
Portanto os pontos de tangência são
Interpretação rápida e ânimo: geometricamente isso significa que a partir do ponto
saem exatamente duas retas que tocam suavemente a curva em dois pontos distintos — nada de errado com isso, é bem comum.
Resposta
Número de retas tangentes:
Pontos de tangência: e
Pontos de tangência: