Quantas retas tangentes à curva y=x /(x+1) passam pelo ponto (1,2) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) quantas retas tangentes à curva passam pelo ponto (1,2); (b) em quais pontos da curva essas retas tocam a curva. Informações dadas:
  • A curva é \displaystyle y=\frac{x}{x+1}.
  • O ponto externo por onde as tangentes devem passar é (1,2).
  • Domínio da curva: x\neq -1 (pois x+1 não pode ser zero).

Passo 2

Ideia-chave (mini-aula): a reta tangente à curva num ponto x=a tem coeficiente angular igual à derivada y'(a). Então primeiro vamos achar y'(x), que é a taxa de variação instantânea (ou inclinação da reta tangente) da função.
Calcule a derivada. Uma forma fácil é reescrever a função:
y=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}.
Derivando termo a termo (a derivada de 1 é 0, e a derivada de -\frac{1}{x+1} usa regra da cadeia) obtemos
y'=\frac{d}{dx}\!\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=0+\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}.
Explicação simples: -\frac{1}{x+1}=-(x+1)^{-1} e a derivada é -1\cdot -(x+1)^{-2}\cdot 1=(x+1)^{-2}.

Passo 3

Agora escrevemos a equação da reta tangente no ponto de abscissa a. O ponto da curva é \displaystyle\left(a,\frac{a}{a+1}\right) e o coeficiente angular é \displaystyle m=\frac{1}{(a+1)^2}. A equação ponto-declive da tangente é
y-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{(a+1)^2}\,(x-a).

Passo 4

Condicionamos que essa reta passe por (1,2). Substituindo x=1,\\ y=2 na equação da tangente:
2-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{(a+1)^2}\,(1-a).
O objetivo agora é resolver essa equação para a (as abscissas dos possíveis pontos de tangência).

Passo 5

Simplificamos a equação passo a passo. Primeiro junta o lado esquerdo numa fração:
2-\frac{a}{a+1}=\frac{2(a+1)-a}{a+1}=\frac{a+2}{a+1}.
Assim a equação vira
\frac{a+2}{a+1}=\frac{1-a}{(a+1)^2}.
Multiplicando ambos os lados por (a+1)^2 (válido desde que a\neq-1, e lembrarei disso depois):
(a+2)(a+1)=1-a.

Passo 6

Expandindo e recolhendo termos:
a^2+3a+2=1-a \quad\Rightarrow\quad a^2+4a+1=0.
Resolvendo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a=\frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm\sqrt{3}.
Então há duas soluções para a:
a_1=-2+\sqrt{3},\qquad a_2=-2-\sqrt{3}.

Passo 7

Verificação de domínio: precisamos garantir a\neq-1. Numericamente a_1\approx-0{,}2679 e a_2\approx-3{,}732; nenhum é -1. Logo ambos são válidos e correspondem a duas tangentes distintas.

Passo 8

Agora calculamos as ordenadas correspondentes usando y=\dfrac{a}{a+1}.
Para a_1=-2+\sqrt{3} tem-se a_1+1=-1+\sqrt{3}. Então
y_1=\frac{-2+\sqrt{3}}{-1+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 1+\sqrt{3}) obtemos
y_1=\frac{(2-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{1-3}=\frac{2+2\sqrt{3}-\sqrt{3}-3}{-2}=\frac{\sqrt{3}-1}{-2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.
Para a_2=-2-\sqrt{3} tem-se a_2+1=-1-\sqrt{3}. Então
y_2=\frac{-2-\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.
Racionalizando por 1-\sqrt{3} obtemos
y_2=\frac{(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{1-3}=\frac{2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3}{-2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{-2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}.

Passo 9

Portanto os pontos de tangência são
\left(-2+\sqrt{3},\\ \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(-2-\sqrt{3},\\ \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right).
Interpretação rápida e ânimo: geometricamente isso significa que a partir do ponto (1,2) saem exatamente duas retas que tocam suavemente a curva em dois pontos distintos — nada de errado com isso, é bem comum.

Resposta

Número de retas tangentes: 2
Pontos de tangência: \left(-2+\sqrt{3},\\ \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right) e \left(-2-\sqrt{3},\\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)

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