Derive:
\frac{\partial}{\partial x} \ln \left(\sqrt{x^{2}}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x de
\ln\bigl(\sqrt{x^{2}}+1\bigr).
Este exercício envolve regra da cadeia e a derivada da função valor absoluto, pois \sqrt{x^{2}}=|x|.

Passo 2

Reescrevemos a função usando valor absoluto:
\ln\bigl(\sqrt{x^{2}}+1\bigr)=\ln\bigl(|x|+1\bigr).
Agora vamos aplicar a regra da cadeia para \ln(u) com u=|x|+1.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(|x|+1\bigr) =\frac{1}{|x|+1}\,\frac{d}{dx}\bigl(|x|+1\bigr).
Como a constante 1 some na derivada, resta \dfrac{1}{|x|+1}\,\dfrac{d}{dx}|x|.

Passo 4

A derivada de |x| é a função sinal:
\frac{d}{dx}|x| =\begin{cases} 1,&x>0,\\\\ -1,&x<0. \end{cases}
Podemos escrever isso de forma compacta como
\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|},\quad x\neq0.

Passo 5

Portanto, substituindo na regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\sqrt{x^{2}}+1\bigr) =\frac{1}{|x|+1}\,\frac{x}{|x|} =\frac{x/|x|}{\,1+|x|\,}.
Em termos de função sinal, x/|x|=\operatorname{sgn}(x).

Resposta

\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(\sqrt{x^{2}}+1\bigr) =\frac{x/|x|}{1+|x|} =\frac{\operatorname{sgn}(x)}{1+|x|},\quad x\neq0.
Em forma peça-por-peça:
\begin{cases} \dfrac{1}{x+1},&x>0,\\[6pt] -\dfrac{1}{1-x},&x<0. \end{cases}]

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