Em economia do bem-estar, considere a função de utilidade média U(x)=\frac{x^{2}}{n}. Derive \mathrm{U}(\mathrm{x}) em relação a x , supondo n constante.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de utilidade média
U(x)=\frac{x^{2}}{n},
onde n é tratado como constante, e pede a derivada de U em relação a x. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivada de uma função potência com fator constante.

Passo 2

Aplicamos a regra do fator constante: se U(x)=\displaystyle\frac{1}{n}\,x^{2}, então
U'(x)=\frac{1}{n}\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 3

Usamos a regra da potência: para f(x)=x^{m}, tem-se \displaystyle f'(x)=m\,x^{m-1}. No nosso caso, m=2, logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 4

Substituindo na expressão de U'(x), obtemos
U'(x)=\frac{1}{n}\cdot2x=\frac{2x}{n}.

Resposta

\displaystyle U'(x)=\frac{2x}{n}.

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