Derive a função.
y=x^2+4 x+3raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = x^2 + 4x + 3raizx
Vamos usar as regras de derivação de potências e soma para resolver.

Passo 2

Reescrevendo em termos de expoentes fracionários, temos
y = (x^2 + 4x + 3),x^-tfrac12 = x^2 - tfrac12 + 4,x^1 - tfrac12 + 3,x^-tfrac12 = x^tfrac32 + 4,x^tfrac12 + 3,x^-tfrac12

Passo 3

Aplicando a regra
ddxx^n = n,x^n-1
termo a termo, obtemos
y' = 32x^tfrac12 + 4cdot12x^-tfrac12 + 3cdotl(-tfrac12r)x^-tfrac32 = 32x^tfrac12 + 2,x^-tfrac12 - 32x^-tfrac32

Passo 4

Para expressar em um único quociente, escolhemos o denominador 2,x^tfrac32. Cada termo fica com numerador:
32x^tfrac12 = 3x^22x^tfrac32, 2,x^-tfrac12 = 4x2x^tfrac32, -32x^-tfrac32 = -32x^tfrac32
Somando-os, resulta
y' = 3x^2 + 4x - 32,x^tfrac32,
sabendo que x^tfrac32=xraizx.

Resposta

y' = 3x^2 + 4x - 32,x^tfrac32

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