Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=e^x, y=e^-x, 0 <= x <= 1; em torno da reta x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
;y=e^x, ;y=e^-x, 0<= x<=1
em torno da reta x=2.
O método de cascas cilíndricas usa “folhas” verticais em x, cuja espessura é dx,
raio r=2-x e altura h=e^x-e^-x.

Passo 2

Cada casca contribui com um volume elementar
dV = 2pi,(raio),(a<ura),dx =2pi,(2-x)l(e^x-e^-xr),dx

Passo 3

Logo, o volume total é
V = 2pi integral0^1 (2-x)l(e^x-e^-xr),dx

Passo 4

Calculemos separadamente
I1 = integral0^1(2-x)e^x,dx e I2 = integral0^1(2-x)e^-x,dx

Passo 5

Para I1:
integral(2-x)e^x,dx =integral2e^x,dx-integral x e^x,dx =2e^x-l(xe^x-e^xr) =e^x(3-x)
Avaliado de 0 a 1 dá
I1=l[e^x(3-x)r]0^1 =2e-3

Passo 6

Para I2:
integral(2-x)e^-x,dx =integral2e^-x,dx-integral x e^-x,dx =-2e^-x-l(-x e^-x-e^-xr) =e^-x(x-1)
Avaliado de 0 a 1 dá
I2=l[e^-x(x-1)r]0^1 =0-(-1)=1

Passo 7

Assim
integral0^1(2-x)l(e^x-e^-xr),dx =I1 - I2 =(2e-3)-1 =2e-4
Multiplicando por 2pi,
V = 2pi,(2e-4) =4pi,(e-2)

Resposta

O volume é ;4pi(e-2).

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