Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=cos (pi x2), y=0,0 <= x <= 1; em torno da reta x=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de x=-1 a região limitada por
y=cos!l(tfracpi x2r), y=0, 0<= x<=1
O método de cascas cilíndricas usa a fórmula
V = 2pi integrala^b (raio)(a<ura),dx

Passo 2

Aqui, para uma abscissa genérica xin[0,1]:
bul<=t o raio da casca é a distância de x até a reta x=-1, ou seja
r(x)=x-(-1)=x+1;
bul<=t a altura da casca é o valor de y, isto é
h(x)=cos!l(tfracpi x2r)
Logo
V = 2pi integral0^1 (x+1),cos!l(tfracpi x2r),dx

Passo 3

Para calcular
I = integral (x+1)cos(a x),dx,
com a=tfracpi2, separamos
I = integral xcos(a x),dx ;+;integral cos(a x),dx
Na primeira integral usamos integração por partes:
bul<=t u = x, dv=cos(a x),dx bul<=t du=dx, v=tfrac1asin(a x).
Assim
integral xcos(a x),dx = xcdottfrac1asin(a x);-;integral tfrac1asin(a x),dx = tfracxasin(a x) + tfrac1a^2cos(a x)
E
integral cos(a x),dx = tfrac1asin(a x)
Somando,
integral(x+1)cos(a x),dx = tfracxasin(a x) + tfrac1a^2cos(a x) + tfrac1asin(a x) = tfracx+1asin(a x) + tfrac1a^2cos(a x)

Passo 4

Voltando ao nosso a=tfracpi2, avaliamos
integral0^1(x+1)cos!l(tfracpi x2r),dx =l[tfracx+1asin(a x)+tfrac1a^2cos(a x)r]0^1
Em x=1: sin(a)=sin(tfracpi2)=1, cos(a)=0.
Em x=0: sin(0)=0, cos(0)=1.
Logo
integral0^1(x+1)cos!l(tfracpi x2r),dx = 2acdot1 + 0a^2 ;-;l(0+tfrac1a^2r) = 2a - 1a^2
Substituindo a=tfracpi2
2pi/2-1(pi/2)^2 = 4pi - 4pi^2

Passo 5

Finalmente
V = 2pil(4pi - 4pi^2r) = 8 - 8pi

Resposta

V = 8 - 8pi

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