Derive a função.
22. g(x)=e^{x^{2} \ln x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
g(x)=e^{x^{2}\ln x}.
O conteúdo que vamos usar inclui a regra da cadeia (para derivar uma exponencial composta) e a regra do produto (para derivar x^2\ln x). Note que g está definida para x>0, pois aparece \ln x.

Passo 2

Definimos o expoente como
u(x)=x^{2}\ln x,
de modo que
g(x)=e^{u(x)}.
Pela regra da cadeia, a derivada de g é
g'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=x^2\ln x é produto de x^2 por \ln x, aplicamos a regra do produto:
u'(x)=\bigl(x^2\bigr)'\ln x + x^2\bigl(\ln x\bigr)'.
Aqui \bigl(x^2\bigr)'=2x e \bigl(\ln x\bigr)'=\tfrac{1}{x}. Logo
u'(x)=2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x + x.
Fatorando x, fica
u'(x)=x\bigl(2\ln x +1\bigr).

Passo 4

Substituindo u'(x) e u(x) na expressão de g'(x), obtemos
g'(x) =x\bigl(2\ln x +1\bigr)\,e^{x^{2}\ln x}.

Resposta

g'(x)=x\bigl(2\ln x +1\bigr)\,e^{x^{2}\ln x}.

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