Derive a função f(x) = 2 x^2 / (9 - 5 x^3) e assinale a resposta correta.
(a) f'(x) = 2 x (18 + 5 x^3) / (9 - 5 x^3)^2. (b) f'(x) = 2(18 - 5x^3) / (9 - 5x^3)^2.
© f'(x) = x(36 - 5x^3) / (9 - 5x^3)^2.
(d) f'(x) = (36 - 10 x^3) / (9 - 5 x^3)^2.
(e) f'(x) = 2 x (18 - 5 x^3) / (9 - 5 x^3)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função . Estamos trabalhando com derivação de funções que são frações, então vamos usar a Regra do Quociente. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se temos uma função , a derivada dela é dada por:
Aqui, e . Precisamos encontrar as derivadas de e , ou seja, e .

Passo 3

Vamos derivar :
Agora, vamos derivar :

Passo 4

Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Somando essas duas partes:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar 2x no numerador:

Resposta

A derivada correta é a opção (a):

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