derive a função dada.
F(x)=\int_{1}^{|\operatorname{sen} x|} \ln t d t

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{1}^{|\sin x|}\ln t\,dt
e pede a derivada F'(x). Para isso usamos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com Regra da Cadeia, cuidando do valor absoluto em |\sin x|.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui temos f(t)=\ln t e u(x)=|\sin x|. Logo
F'(x)=\ln\bigl(|\sin x|\bigr)\;\frac{d}{dx}\bigl(|\sin x|\bigr).

Passo 3

Para derivar o valor absoluto usamos
\frac{d}{dx}\bigl|\sin x\bigr| =\operatorname{sgn}(\sin x)\,\frac{d}{dx}(\sin x) =\operatorname{sgn}(\sin x)\,\cos x,
onde
\operatorname{sgn}(y)= \begin{cases} 1, & y>0,\\\\ -1,& y<0. \end{cases}

Passo 4

Substituindo em F'(x) obtemos
F'(x) =\ln\bigl|\sin x\bigr|\;\bigl[\operatorname{sgn}(\sin x)\,\cos x\bigr] =\ln\bigl|\sin x\bigr|\;\cos x\;\operatorname{sgn}(\sin x).

Resposta

F'(x)=\ln\bigl|\sin x\bigr|\;\cos x\;\operatorname{sgn}(\sin x).

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