Sabendo que os limites a seguir existem, use coordenadas polares para determiná-los:
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2+x^3x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de
x^2+y^2+x^3x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). Este é um caso clássico de limite de função de duas variáveis em que podemos usar coordenadas polares para simplificar a expressão e verificar se o limite existe.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta,
y = rsintheta,
e lembramos que
x^2+y^2 = r^2

Passo 3

Substituindo essas relações na expressão original temos
x^2+y^2+x^3x^2+y^2 = r^2 + (rcostheta)^3r^2 = 1 + rcos^3theta

Passo 4

À medida que rto0, o termo rcos^3theta tende a zero para todo theta. Isso mostra que a expressão se aproxima de 1 de forma independente de theta, provando que o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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