Derive a função
:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
No enunciado, precisamos derivar a função $ f(x) = (\ln x)^{x} \cdot x^{\ln x} $. Vamos usar regras de derivação que envolvem logaritmos e funções exponenciais para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que qualquer expressão da forma $ a^b $ pode ser reescrita usando a função exponencial e logaritmo natural: $ a^b = e^{b \ln a} $.
Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões na função original:
Usando a propriedade de que $ e^a \cdot e^b = e^{a + b} $, temos:
Passo 4
Para derivar $ f(x) $, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u(x)} $ é $ e^{u(x)} \cdot u’(x) $, onde $ u(x) = x \ln (\ln x) + (\ln x)^2 $.
Então, precisamos encontrar $ u’(x) $.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de $ u(x) = x \ln (\ln x) + (\ln x)^2 $.
Primeiro, derivamos $ x \ln (\ln x) $:
Agora, derivamos $ (\ln x)^2 $:
Então, combinando as duas partes:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia na derivada de $ f(x) $:
Lembrando que $ e^{x \ln (\ln x) + (\ln x)^2} = (\ln x)^x \cdot x^{\ln x} = x^{x + \ln x} $, podemos reescrever a derivada como:
Resposta
$ f^{\prime}(x) = \left(x^{x+\ln x}\right)\left(\frac{1}{\ln x} - \ln x + \frac{\ln x}{x}\right) $