Derive a função f(x)=(ln x)^x x^ln x :
Escolha uma opção:
f^prime(x)=(x^x+ln x)(1ln x-ln x+ln xx)

Passo 1

No enunciado, precisamos derivar a função $ f(x) = (\ln x)^{x} \cdot x^{\ln x} $. Vamos usar regras de derivação que envolvem logaritmos e funções exponenciais para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que qualquer expressão da forma $ a^b $ pode ser reescrita usando a função exponencial e logaritmo natural: $ a^b = e^{b \ln a} $.
Aplicando isso à nossa função:
a^b
a^b = e^b ln a

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na função original:
f(x) = e^x ln (ln x) cdot e^(ln x)^2
Usando a propriedade de que $ e^a \cdot e^b = e^{a + b} $, temos:
e^a cdot e^b = e^a + b

Passo 4

Para derivar $ f(x) $, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u(x)} $ é $ e^{u(x)} \cdot u’(x) $, onde $ u(x) = x \ln (\ln x) + (\ln x)^2 $.
Então, precisamos encontrar $ u’(x) $.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de $ u(x) = x \ln (\ln x) + (\ln x)^2 $.
Primeiro, derivamos $ x \ln (\ln x) $:
u(x) = x ln (ln x) + (ln x)^2
Agora, derivamos $ (\ln x)^2 $:
x ln (ln x)
Então, combinando as duas partes:
ddx [x ln (ln x)] = ln (ln x) + x cdot 1ln x cdot 1x = ln (ln x) + 1ln x

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia na derivada de $ f(x) $:
f(x)
Lembrando que $ e^{x \ln (\ln x) + (\ln x)^2} = (\ln x)^x \cdot x^{\ln x} = x^{x + \ln x} $, podemos reescrever a derivada como:
f'(x) = e^x ln (ln x) + (ln x)^2 cdot ( ln (ln x) + 1ln x + 2 ln xx )

Resposta

$ f^{\prime}(x) = \left(x^{x+\ln x}\right)\left(\frac{1}{\ln x} - \ln x + \frac{\ln x}{x}\right) $

Exercícios relacionados