Mostre que os campos vetoriais abaixo são conservativos e use essa informação para calcular a integral
sobre a curva
.
e
é um caminho que liga os pontos
a
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial e o caminho:
- O campo vetorial é
com - A curva
é qualquer caminho que liga o ponto inicial ao ponto final .
O que o problema pede:
- Mostrar que o campo
é conservativo (isto é, existe uma função potencial tal que ). - Usar isso para calcular a integral de linha
sobre um caminho que liga a .
Passo 2
Critério prático para campos no plano: se
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado (por exemplo,
) então
é conservativo se, e somente se,
em todo o domínio. Explicando de forma intuitiva: para existir uma função
com
é necessário que as segundas derivadas mistas coincidam (isso vem do fato de
quando
é suave).
Vamos verificar essa condição para o campo dado:
- Calcular
: - Calcular
:
Como
e as derivadas parciais são contínuas em todo
(domínio simplesmente conectado), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Agora vamos encontrar uma função potencial
tal que
Método: integramos
em relação a
, tratando
como constante, e introduzimos uma “constante” de integração que pode depender de
.
Integrando
em
:
onde
é uma função desconhecida de
(porque ao derivar em
ela some).
Passo 4
Determinar
impondo que
.
Calcular a partir de
:
Calcular
Igualando ao
:
Ao simplificar, obtemos
Integrando em
:
onde
é constante real (irrelevante para a integral de linha). Portanto uma função potencial é
Passo 5
Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos: se
então a integral de linha ao longo de qualquer curva
que leva o ponto
ao ponto
é
Aqui
e
. Avaliando a potencial
(pode-se escolher
sem perda de generalidade):
Portanto a integral pedida é
.