Mostre que os campos vetoriais abaixo são conservativos e use essa informação para calcular a integral \int_{C} F \cdot d r sobre a curva C.
F(x, y)=\left(2 x \operatorname{sen} y, x^{2} \cos y-3 y^{2}\right) e C é um caminho que liga os pontos (-1,0) a (5,1).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial e o caminho:
  • O campo vetorial é F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) com P(x,y)=2x\sin y,\qquad Q(x,y)=x^{2}\cos y-3y^{2}.
  • A curva C é qualquer caminho que liga o ponto inicial (-1,0) ao ponto final (5,1).
O que o problema pede:
  1. Mostrar que o campo F é conservativo (isto é, existe uma função potencial f tal que \nabla f=F).
  2. Usar isso para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot dr sobre um caminho C que liga (-1,0) a (5,1).

Passo 2

Critério prático para campos no plano: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado (por exemplo, \mathbb{R}^2) então F é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em todo o domínio. Explicando de forma intuitiva: para existir uma função f com \nabla f=(P,Q) é necessário que as segundas derivadas mistas coincidam (isso vem do fato de \partial^2 f/\partial x\partial y=\partial^2 f/\partial y\partial x quando f é suave).
Vamos verificar essa condição para o campo dado:
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\sin y\bigr)=2x\cos y.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\cos y-3y^{2}\bigr)=2x\cos y.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x\cos y e as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conectado), concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Agora vamos encontrar uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=2x\sin y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}\cos y-3y^{2}.
Método: integramos P em relação a x, tratando y como constante, e introduzimos uma “constante” de integração que pode depender de y.
Integrando P em x:
f(x,y)=\int 2x\sin y\,dx = x^{2}\sin y + g(y),
onde g(y) é uma função desconhecida de y (porque ao derivar em x ela some).

Passo 4

Determinar g(y) impondo que \partial f/\partial y = Q.
Calcular \partial f/\partial y a partir de f(x,y)=x^{2}\sin y + g(y):
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\cos y + g'(y).
Igualando ao Q:
x^{2}\cos y + g'(y)=x^{2}\cos y-3y^{2}.
Ao simplificar, obtemos
g'(y)=-3y^{2}.
Integrando em y:
g(y)=\int -3y^{2}\,dy = -y^{3} + C,
onde C é constante real (irrelevante para a integral de linha). Portanto uma função potencial é
f(x,y)=x^{2}\sin y - y^{3} + C.

Passo 5

Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos: se F=\nabla f então a integral de linha ao longo de qualquer curva C que leva o ponto A ao ponto B é
\int_{C}F\cdot dr = f(B)-f(A).
Aqui A=(-1,0) e B=(5,1). Avaliando a potencial f (pode-se escolher C=0 sem perda de generalidade):
f(5,1)=25\sin 1 - 1^{3}=25\sin 1 -1,
f(-1,0)=(-1)^{2}\sin 0 - 0^{3}=1\cdot 0 - 0 = 0.
Portanto a integral pedida é \,f(5,1)-f(-1,0)\,.

Resposta

\displaystyle \int_{C}F\cdot dr = 25\sin 1 - 1

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