Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
y=\cos ^{-1} x \operatorname{sen}^{-1} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \cos^{-1}(x)\,\operatorname{sen}^{-1}(x).
Aqui vamos usar o conteúdo de derivadas de funções inversas e a regra do produto. Precisamos saber que
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{-1}(x)\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}^{-1}(x)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 2

Defina
u(x)=\cos^{-1}(x), \quad v(x)=\operatorname{sen}^{-1}(x).
Pela regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v'.
E das fórmulas acima temos
u'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad v'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 3

Substituindo em y' = u'v + uv',
y' = \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\Bigr)\,\operatorname{sen}^{-1}(x) + \cos^{-1}(x)\,\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\Bigr).
Fatorando 1/\sqrt{1 - x^2},
y' = \frac{\cos^{-1}(x) - \operatorname{sen}^{-1}(x)}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 4

Observando a identidade \cos^{-1}(x)+\operatorname{sen}^{-1}(x)=\tfrac{\pi}{2}, poderíamos reescrever o numerador se desejado, mas a forma acima já está bem simplificada.

Resposta

y' = \frac{\cos^{-1}(x) - \operatorname{sen}^{-1}(x)}{\sqrt{1 - x^2}}.

Exercícios relacionados