Derive a função
F(x)=log (tg x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ F(x) = \log(\tan x) $ e precisamos encontrar a derivada dela. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e as derivadas das funções logarítmica e trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \log(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Aqui, $ u $ é uma função de $ x $, que no nosso caso é $ \tan x $. Então, aplicando a regra da derivada do logaritmo, temos:
log(u)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ \tan x $. Sabemos que $ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $. Então, substituindo isso na expressão anterior:
tan x

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ e $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $, então $ \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $. Substituindo essas relações:
tan x = sin xcos x

Passo 5

Podemos ainda simplificar usando identidades trigonométricas. Sabemos que $ 2\sin x \cos x = \sin 2x $, então:
2sin x cos x = sin 2x

Resposta

A derivada de $ F(x) = \log(\tan x) $ é:
F(x) = log(tan x)

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