Derive a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ F(x) = \log(\tan x) $ e precisamos encontrar a derivada dela. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e as derivadas das funções logarítmica e trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \log(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Aqui, $ u $ é uma função de $ x $, que no nosso caso é $ \tan x $. Então, aplicando a regra da derivada do logaritmo, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ \tan x $. Sabemos que $ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $. Então, substituindo isso na expressão anterior:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ e $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $, então $ \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $. Substituindo essas relações:
Passo 5
Podemos ainda simplificar usando identidades trigonométricas. Sabemos que $ 2\sin x \cos x = \sin 2x $, então:
Resposta
A derivada de $ F(x) = \log(\tan x) $ é: