Derive a função.
y=\ln \sqrt{\frac{1+2 x}{1-2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \ln \sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}.
O conteúdo principal aqui é derivação de função composta envolvendo logaritmo, raiz e quociente. Vamos precisar usar:
  1. Propriedade de logaritmo \ln\sqrt{A} = \tfrac12\ln A.
  2. Derivada de \ln u é \tfrac{u'}{u}.
  3. Regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro simplificamos usando a propriedade de logaritmos:
y = \ln \sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}} = \frac12 \ln\!\Bigl(\frac{1+2x}{1-2x}\Bigr) = \frac12\Bigl[\ln(1+2x) - \ln(1-2x)\Bigr].

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Seja
y = \frac12\,u(x), \quad \text{com}\quad u(x) = \ln(1+2x) - \ln(1-2x).
Então
y' = \frac12\,u'(x).
Para u'(x) usamos derivada de logaritmo:
\frac{d}{dx}\ln(1+2x) = \frac{2}{1+2x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln(1-2x) = \frac{-2}{1-2x}.
Portanto
u'(x) = \frac{2}{1+2x} - \biggl(\frac{-2}{1-2x}\biggr) = \frac{2}{1+2x} + \frac{2}{1-2x}.

Passo 4

Somando as frações de u'(x):
u'(x) = 2\Bigl(\frac{1}{1+2x} + \frac{1}{1-2x}\Bigr) = 2\;\frac{(1-2x)+(1+2x)}{(1+2x)(1-2x)} = 2\;\frac{2}{1 - 4x^2} = \frac{4}{1 - 4x^2}.
Logo
y' = \frac12\,u'(x) = \frac12\cdot\frac{4}{1 - 4x^2} = \frac{2}{1 - 4x^2}.

Resposta

y' = \frac{2}{1 - 4x^2}.

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